Richardson Extrapolation < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:47 Mi 26.08.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | | Berechne mit Hilfe der numerischen Differentiation durch Richardson-Extrapolation, die Ableitung der Funktion f(x)=sin(x) für den Punkt [mm] x_{0}=1 [/mm] und die Parameter h=1 und r=0,5. |
Hallo. Es gibt einen Algorithmus um die Extrapolation nach Richardson zu berechnen.
Dafür benötigt man folgende Formeln:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man erhält folgendes rechenschema:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Woher weiß ich, wenn ich die Aufgabe lese, bis wohin mein m läuft? Das brauche ich ja für mein Rechenschema. Ich sehe das irgendwie nicht.
Hängt das vielleicht irgendwie mit der Ableitung zusammen?
Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Berechne mit Hilfe der numerischen Differentiation durch
> Richardson-Extrapolation, die Ableitung der Funktion
> f(x)=sin(x) für den Punkt [mm]x_{0}=1[/mm] und die Parameter h=1
> und r=0,5.
> Hallo. Es gibt einen Algorithmus um die Extrapolation nach
> Richardson zu berechnen.
>
> Dafür benötigt man folgende Formeln:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Du kannst auch ruhig den Formeleditor hier benutzen. Das erleichtert das Antworten ungemein.
> Man erhält folgendes rechenschema:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen.
> Woher weiß ich, wenn ich die Aufgabe lese, bis wohin mein
> m läuft? Das brauche ich ja für mein Rechenschema. Ich
> sehe das irgendwie nicht.
Na, das $m$ laeuft bis $n - i$ fuer [mm] $A_{m,i}$, [/mm] wenn du [mm] $A_{0,n}$ [/mm] ausrechnen willst. Das kannst du doch sofort aus dem Rechenschema ablesen.
> Hängt das vielleicht irgendwie mit der Ableitung
> zusammen?
Dazu musst du schon wissen, was die Richardson-Extrapolation eigentlich machen soll. Schreib doch mal auf was du darueber weisst. Irgendwas werdet ihr auch sicher in der Vorlesung dazu gemacht haben, grad in Bezug auf Ableitung / Taylor-Formel / ...
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Do 27.08.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Also ich habe folgendes dazu:
Richardson-Extrapolation
[mm] a_{0} [/mm] st gesucht
A(h) ist die Näherung für [mm] a_{0}
[/mm]
[mm] a_{0}=A(h)+Fehler(h)
[/mm]
Annamhe über Fehler (h):
Fehlerordnung [mm] O(h^{k}), [/mm] genauer [mm] a_{0}= A(h)+\summe_{i=k}^{m} a_{i}h^{i}+a_{m+1}(h)h^{m+1} [/mm] wobei [mm] a_{R}\not=0 [/mm] und [mm] a_{i} [/mm] unabhängig von [mm] \forall [/mm] i=k,...,m
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}A(h)=a_{0}
[/mm]
[mm] a_{i} [/mm] nicht implizit bekannt [mm] |a_{m+1(h)}|\le [/mm] M
Beispiel:
[mm] a_{0}= f'(x_{0}), A(h)=\bruch{1}{h}(f(x_{0}+h)-f(x_{0}))
[/mm]
[mm] a_{0}= A(h)+f'(x_{0}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{h}(f(x_{0}+h)-f(x_{0})) [/mm] = A(h)- [mm] \summe_{i=1}^{m}\bruch{1}{(i+1)!}f^{i+1}(x_{0})h^{i}-\bruch{1}{(m+2)!}f^{m+2}(\xi (h))h^{m+1}
[/mm]
Idee:
Kombiniere [mm] A(h_{1}) [/mm] und [mm] A(h_{2}), [/mm] so dass [mm] h^{k} [/mm] verschwindet.
[mm] h_{1}:=h, h_{2}:=rh, [/mm] 0<r<1
[mm] a_{0}= A(h)+\summe_{i=k}^{m} a_{i}h^{i}+a_{m+1}(h)h^{m+1} [/mm] [mm] |*r^{k} [/mm]
[mm] a_{0}= A(rh)+\summe_{i=k}^{m} a_{i}(rh)^{i}+a_{m+1}(h)(rh)^{m+1} [/mm] -
________________________________________________________
[mm] a_{0}-a_{0}r^{k}=A(rh)-r^{k}A(h)+summe_{i=k+1}^{m} a_{i}(r^{i}-r^{k})h^{i}+[a_{m+1}(rh)r^{m+1}-a_{m+1}(h)r^{k}]
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{1}{1-r^{k}}[A(rh)-r^{k}A(h)]+summe_{i=k+1}^{m} b_{i}h^{i}+ \bar a_{m+1}(h)h^{m+1} [/mm] wobei [mm] b_{i}=a_{i}(r^{i}-r^{k})/(1-r^{k})
[/mm]
[mm] \bar a_{m+1}(h)=[a_{m+1}(rh)r^{m+1}-a_{m+1}(h)r^{k}]/(1-r^{k})
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{0}=\bruch{A(rh)-r^{k}A(h)}{1-r^{k}}+O(h^{k+1})
[/mm]
Bemerkung: Nur k muss bekannt sein!
Algorithmus:
[mm] A_{m,0}:=A(r^{m}h), [/mm] m=0,1,...
[mm] A_{m,i+1}:=\bruch{1}{1-r^{k+i}}A_{m+1,i}-r^{k+i}A_{m,i}, [/mm] i=0,1,...
Rechenschema:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt habe ich das mal für meine Aufgabe gemacht:
f(x)=sin(x) [mm] x_{0}=1 [/mm] h=1 r=0,5
f'(x)=cos(x)=0,540302305 (exakte Wert)
___________________________________
[mm] A_{0,0}=A(r^{0}h)=A(h)=A(1)=\bruch{1}{h}(f(x_{0}+h)-f(x_{0}))=1(f(2)-f(1))=sin(2)-sin(1)=0,06783
[/mm]
[mm] A_{1,0}=A(r^{1}h)=A(0,5*1)=A(1)=\bruch{1}{0,5}(f(1+0,5*1)-f(1))=2(sin(1,5)-sin(1)=0,312048003
[/mm]
[mm] A_{2,0}=A(r^{2}h)=A(0,25*1)=A(0,25)=\bruch{1}{0,25}(f(1+0,25*1)-f(1))=4(sin(\bruch{5}{4})-sin(1)=0,430054538
[/mm]
[mm] A_{3,0}=A(r^{3}h)=A(\bruch{1}{8}*1)=A(\bruch{1}{8})=(f(\bruch{9}{8})-f(1))=8(sin(\bruch{9}{8})-sin(1)=0,486372874
[/mm]
Woher weiß ich jetzt, dass ich bei [mm] A_{3,0} [/mm] aufhöre und nicht noch [mm] A_{4,0} [/mm] bestimme?
Jetzt berechne ich die zweite Spalte des Rechenschemas:
[mm] A_{0,1}=\bruch{A_{1,0}-r^{1}A_{0,0}}{1-r^{1}}=0,556266006
[/mm]
[mm] A_{1,1}=\bruch{A_{2,0}-r^{1}A_{1,0}}{1-r^{1}}=0,548061073
[/mm]
[mm] A_{2,1}=\bruch{A_{3,0}-r^{1}A_{2,0}}{1-r^{1}}=0,54269121
[/mm]
Jetzt die dritte Spalte:
[mm] A_{0,2}=\bruch{A_{1,1}-r^{2}A_{0,1}}{1-r^{2}}=0,545326095
[/mm]
[mm] A_{1,2}=\bruch{A_{2,1}-r^{2}A_{1,1}}{1-r^{2}}=0,540901255
[/mm]
Und jetzt die letzte Solate:
[mm] A_{0,3}=\bruch{A_{1,2}-r^{3}A_{0,2}}{1-r^{3}}=0,540269135 \cong [/mm] f'(1)=0,540302305
_____________________________
Wie schon erwähnt, weiß ich einfach nicht, woher ich weiß wie viele A's ich von der ersten Spalte des Rechenschemas bilden soll.
Villeicht weißt du ja was?
Danke schonmal.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Rechenschema:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Jetzt habe ich das mal für meine Aufgabe gemacht:
>
> f(x)=sin(x) [mm]x_{0}=1[/mm] h=1 r=0,5
> f'(x)=cos(x)=0,540302305 (exakte Wert)
> ___________________________________
>
> [mm]A_{0,0}=A(r^{0}h)=A(h)=A(1)=\bruch{1}{h}(f(x_{0}+h)-f(x_{0}))=1(f(2)-f(1))=sin(2)-sin(1)=0,06783[/mm]
>
> [mm]A_{1,0}=A(r^{1}h)=A(0,5*1)=A(1)=\bruch{1}{0,5}(f(1+0,5*1)-f(1))=2(sin(1,5)-sin(1)=0,312048003[/mm]
>
> [mm]A_{2,0}=A(r^{2}h)=A(0,25*1)=A(0,25)=\bruch{1}{0,25}(f(1+0,25*1)-f(1))=4(sin(\bruch{5}{4})-sin(1)=0,430054538[/mm]
>
> [mm]A_{3,0}=A(r^{3}h)=A(\bruch{1}{8}*1)=A(\bruch{1}{8})=(f(\bruch{9}{8})-f(1))=8(sin(\bruch{9}{8})-sin(1)=0,486372874[/mm]
>
> Woher weiß ich jetzt, dass ich bei [mm]A_{3,0}[/mm] aufhöre und
> nicht noch [mm]A_{4,0}[/mm] bestimme?
Schau dir mal die Formeln an:
Wenn du [mm] $A_{0,3}$ [/mm] ausrechnen willst, brauchst du [mm] $A_{0, 2}$ [/mm] und [mm] $A_{1,2}$.
[/mm]
Wenn du [mm] $A_{0,2}$ [/mm] und [mm] $A_{1,2}$ [/mm] ausrechen willst, brauchst du [mm] $A_{0,1}$, $A_{1,1}$ [/mm] und [mm] $A_{2,1}$.
[/mm]
Wenn du [mm] $A_{0,1}$, $A_{1,1}$ [/mm] und [mm] $A_{2,1}$ [/mm] ausrechen willst, brauchst du [mm] $A_{0,0}$, $A_{1,0}$, $A_{2,0}$ [/mm] und [mm] $A_{3,0}$.
[/mm]
Deswegen hoerst du bei [mm] $A_{3,0}$ [/mm] auf.
Allgemeiner: wenn du [mm] $A_{0,n}$ [/mm] haben willst, brauchst du in der $i$-ten Spalte [mm] $A_{0,i}, \dots, A_{n-i,i}$. [/mm] Du brauchst also alle [mm] $A_{i,j}$ [/mm] mit $i + j [mm] \le [/mm] n$ (und bei dir ist $n = 3$).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 30.08.2009 | | Autor: | tynia |
Vielen lieben Dank
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:32 Di 22.09.2009 | | Autor: | tynia |
woher weiß ich, dass bei mir n=3 ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 24.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 28.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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