Richtungsabl. in jede Richtung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 Mo 05.06.2006 | | Autor: | HeFFeR |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
[mm]f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1, x_2) = \frac{ x_1^2 \sin x_2}{1 - \cos x_2 + x_1^2 \sin^2 x_1}, f(0,0) = 0[/mm]
in (0,0) Richtungsableitungen in jede Richtung a besitzt, aber dort nicht stetig ist. Hinweis: Entwickeln Sie Zähler und Nenner um (0,0) oder verwenden Sie L'Hospital. |
Hi!
Mir ist der Lösungsansatz zu einer solchen Aufgabe nicht ganz klar. Ich habe versucht eine Richtungsableitung aufzustellen und habe dabei folgende Definition verwendet:
[mm]\frac{\delta f}{\delta \vec{a}}(\vec{x}) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\vec{x} + h \vec{a}) - f(\vec{x})}{h} = \frac{d}{dt} \left[ f(\vec{x} + t \vec{a}) \right]_{t=0}[/mm]
Nach dieser Definition müsste ich meine Richtungsableitung wie folgt berechnen (Richtungsableitung von f ist der Grenzwert):
[mm]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1 + ha_1, x_2 + ha_2) - f(x_1, x_2)}{h}[/mm]
Ich schau die Richtungsableitung im Punkt (0,0) an und kann deshalb [mm]x_1 = 0[/mm] und [mm]x_2 = 0[/mm] setzen und [mm]f(x_1, x_2) = f(0,0) = 0[/mm]. Somit ändert sich meine Formel oben:
[mm]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(ha_1, ha_2)}{h}[/mm]
Ich setze die Funktion f ein und erhalte:
[mm]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(ha_1, ha_2)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(ha_1)^2 \sin (ha_2)}{1 - \cos (ha_2) + (ha_1)^2 \sin^2(ha_1)} \cdot \frac{1}{h}[/mm]
Wenn ich jetzt h gegen 0 laufen lasse, bekomme ich [mm]\frac{0}{0}[/mm]. Wie mache ich nun weiter? Mein anderer Ansatz mit [mm]\frac{d}{dt} \left[ f(\vec{x} + t \vec{a}) \right]_{t=0}[/mm] (siehe Definition) lief auch ins Leere. Mit L'Hospital kam ich nicht weiter oder ich mache einen grundlegenden Fehler.
Ich bin dankbar für jeden Vorschlag. Dieses Kapitel hatten wir erst letzte Woche 
Freue mich schon auf die Antworten! 
Gruß,
HeFFeR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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