Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 16.12.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Richtungsableitungen von
$f: [mm] \IR^3 \to \IR, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto xy^2+x^2z^3-3yz [/mm] $
im Punkt $ P = (1,2,1) $ in die Richtungen $ [mm] \xi_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{17}}(1,0,4)$ [/mm] und [mm] $\xi_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1) [/mm] $ |
1.
Alle partiellen Ableitungen $1.$Ordnung
[mm] $\frac{\delta f}{\delta x} [/mm] = [mm] y^2+2xz^3-0$
[/mm]
[mm] $\frac{\delta f}{\delta y} [/mm] = 2yx+0-3z$
[mm] $\frac{\delta f}{\delta z} [/mm] = [mm] 0+x^23z^2-3y$
[/mm]
daraus folgere ich den grad von $f$ ab
$grad(f(x,y,z))= [mm] \pmat{ y^2 &2xz^3 &-0\\ 2yx &0 & -3z \\0&x^23z^2&-3y }$
[/mm]
jetzt im Punkt $ P = (1,2,1) $ nun
$grad(f(1,2,1))= [mm] \pmat{ 4 &2 &-0\\ 4&0 & -3 \\0&3&-6 } [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 1\\-3}$
[/mm]
jetzt
$ [mm] f_{\xi_{1}}(1,2,1) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{17}}(1,0,4) *\vektor{6 \\ 1\\-3}= \frac{-6}{\sqrt{17}}$
[/mm]
$ [mm] f_{\xi_{2}}(1,2,1) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1) *\vektor{6 \\ 1\\-3}= \frac{10}{\sqrt{6}}$ [/mm]
ist das so richtig mates?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 16.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> 1.
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> Alle partiellen Ableitungen [mm]1.[/mm]Ordnung
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta x} = y^2+2xz^3-0[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta y} = 2yx+0-3z[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta z} = 0+x^23z^2-3y[/mm]
>
> daraus folgere ich den grad von [mm]f[/mm] ab
>
> [mm]grad(f(x,y,z))= \pmat{ y^2 &2xz^3 &-0\\ 2yx &0 & -3z \\0&x^23z^2&-3y }[/mm]
Es ist doch [mm] $\mathrm [/mm] grad [mm] f(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$!
[/mm]
>
> jetzt im Punkt [mm]P = (1,2,1)[/mm] nun
>
> [mm]grad(f(1,2,1))= \pmat{ 4 &2 &-0\\ 4&0 & -3 \\0&3&-6 } = \vektor{6 \\ 1\\-3}[/mm]
>
Das ist schon sehr skurril, aber das Ergebnis stimmt.
> jetzt
>
> [mm]f_{\xi_{1}}(1,2,1) = \frac{1}{\sqrt{17}}(1,0,4) *\vektor{6 \\ 1\\-3}= \frac{-6}{\sqrt{17}}[/mm]
>
>
> [mm]f_{\xi_{2}}(1,2,1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1) *\vektor{6 \\ 1\\-3}= \frac{10}{\sqrt{6}}[/mm]
>
Sehr ungewöhnliche Schreibweise für die Richtungsableitung, aber auch hier scheint mir das Ergebnis zu stimmen.
> ist das so richtig mates?
>
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Richtungsableitungen von
>
> [mm]f: \IR^3 \to \IR, (x,y,z) \mapsto xy^2+x^2z^3-3yz[/mm]
>
> im Punkt [mm]P = (1,2,1)[/mm] in die Richtungen [mm]\xi_1 = \frac{1}{\sqrt{17}}(1,0,4)[/mm]
> und [mm]\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1)[/mm]
> 1.
>
> Alle partiellen Ableitungen [mm]1.[/mm]Ordnung
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta x} = y^2+2xz^3-0[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta y} = 2yx+0-3z[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta z} = 0+x^23z^2-3y[/mm]
>
> daraus folgere ich den grad von [mm]f[/mm] ab
>
> [mm]grad(f(x,y,z))= \pmat{ y^2 &2xz^3 &-0\\ 2yx &0 & -3z \\0&x^23z^2&-3y }[/mm]
Du meinst hier sicher:
[mm]grad(f(x,y,z))= \pmat{ y^2 & +2xz^3 &-0\\ 2yx &+0 & -3z \\0 +& x^23z^2 +&-3y }[/mm],
also ein Vektor in [mm] \IR^3.
[/mm]
FRED
>
>
> jetzt im Punkt [mm]P = (1,2,1)[/mm] nun
>
> [mm]grad(f(1,2,1))= \pmat{ 4 &2 &-0\\ 4&0 & -3 \\0&3&-6 } = \vektor{6 \\ 1\\-3}[/mm]
>
>
> jetzt
>
> [mm]f_{\xi_{1}}(1,2,1) = \frac{1}{\sqrt{17}}(1,0,4) *\vektor{6 \\ 1\\-3}= \frac{-6}{\sqrt{17}}[/mm]
>
>
> [mm]f_{\xi_{2}}(1,2,1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1) *\vektor{6 \\ 1\\-3}= \frac{10}{\sqrt{6}}[/mm]
>
>
> ist das so richtig mates?
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