Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Sei f(x,y):= [mm] \bruch{xy²}{x²+y^4} [/mm] falls [mm] x\not= [/mm] 0 und f(0,y):=0.
Man zeige, dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist. Gleichwohl besitzt f im Nullpunkt Ableitungen in allen Richtungen. |
Guten Abend liebe Mathe leute!
bestimmt könnt ihr mir bei dieser aufgabe weiterhelfen?!
ich hab versucht die unstetigkeit in (0,0) zu zeigen:
betrachte: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] f(x,y)
abschätzung:
[mm] \bruch{xy²}{x²+y^4} [/mm] < [mm] \bruch{xy^4}{x²+y14} [/mm] < [mm] \bruch{xy^4}{y^4}=x.
[/mm]
d.h. [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] f(x,y) < lim (x) = 0. dummerweise weiß ich ja aber gar nicht was der funktionswert von f(0,0) ist? und außerdem wenn das so wäre, hätte ich ja grad das gegenteil gezeigt?? *verwirrtbin'*
und dass f ableitungen in allen richtungen besitzt, muss ich bestimmt über den gradienten zeigen, oder??
also [mm] \bruch{df}{dx}= \bruch{(x²+y^4)y² - 2x²y²}{(x²+y^4)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{y^6-x²y²}{(x²+y^4)²}
[/mm]
und [mm] \bruch{df}{dy}= \bruch{(x²+y^4)² 2xy - xy²4y^3}{(x²+y^4)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{2xy(x²y^4)-4xy^5}{(x²+y^4)²}
[/mm]
aber woher weiß ich nun dass f ableitungen in allen richtungen bestitzt??
vielen dank für eure hilfe...
viele grüße
riley 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
[mm] xy^{2}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi leduart!
okay dankeschön für deinen hinweis!
weiß leider nicht wie ich die unstetigkeit zeigen soll. eigentlich hätte ich gerne den grenzwert der funktion (x,y)-> (0,0) betrachtet und dann gezeigt, dass der [mm] \not= [/mm] f(0,0) ist. aber was ist denn f(0,0) ??
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Sa 03.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> hi leduart!
> okay dankeschön für deinen hinweis!
> weiß leider nicht wie ich die unstetigkeit zeigen soll.
> eigentlich hätte ich gerne den grenzwert der funktion
> (x,y)-> (0,0) betrachtet und dann gezeigt, dass der [mm]\not=[/mm]
> f(0,0) ist. aber was ist denn f(0,0) ??
[m]f(0,0)=0[/m]
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Sa 03.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> d.h. [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}[/mm] f(x,y) < lim (x) = 0.
Wie gesagt: das ist falsch.
> dummerweise weiß ich ja aber gar nicht was der
> funktionswert von f(0,0) ist?
Der ist 0.
> und außerdem wenn das so
> wäre, hätte ich ja grad das gegenteil gezeigt??
Ja, versuche mal eine Folge [m](x_n,y_n)[/m] zu finden, die gegen Null geht, aber durch f auf eine Konstante ungleich 0 abgebildet wird.
> und dass f ableitungen in allen richtungen besitzt, muss
> ich bestimmt über den gradienten zeigen, oder??
Nein, den gibt es nicht. Aber betrachte [m]\lim_{t\to 0} \bruch{f(0+t*v)-f(0)}{t}[/m] für jedes v. Das sind die Richtungsableitungen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI!
Vielen dank für deine antwort!
muss aber nochmal nachfragen, warum gilt f(0,0) = 0, denn wenn man das einsetzt müsste man ja durch Null teilen?!?
ah okay, also könnte ich z.B. nehmen:
x= [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] , [mm] y=\bruch{1}{n}
[/mm]
d.h. f(x,y) = [mm] \bruch{\bruch{1}{n²}{ (\bruch{1}{n})²}}{(\bruch{1}{n²})²+(\bruch{1}{n})^4} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{1}{n^4}}{\bruch{2}{n^4}}= \bruch{1}{2} \not=0 [/mm] .
und damit folgt Unstetigkeit in (0,0). stimmt das so?
hm, das mit der richtungsableitung versteh ich noch nicht. wir haben das definiert über den gradienten mal einheitsvektor.
wie meinst du das mit dem grenzwert für jedes v betrachten??
vielen dank für deine hilfe
grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 03.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> muss aber nochmal nachfragen, warum gilt f(0,0) = 0, denn
> wenn man das einsetzt müsste man ja durch Null teilen?!?
Nein, schau dir die Definition für f nochmal an, vor allem was bei [m]x=0[/m] passiert.
> und damit folgt Unstetigkeit in (0,0). stimmt das so?
Ja. Kannst du das auch kurz begründen?
> hm, das mit der richtungsableitung versteh ich noch nicht.
> wir haben das definiert über den gradienten mal
> einheitsvektor.
Der existiert blos nicht in 0. DFa muss man eine direktere Definition für Richtungsableitung nehmen - eben die durch den Grenzwert, den ich hingeschrieben habe.
> wie meinst du das mit dem grenzwert für jedes v
> betrachten??
Für jeden Vektor v - alle Richtungsableitung eben.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI!
danke für deine tipps!
stimmt, mich hat das y irritiert, aber y=0 ist ja zugelassen: f(0,y)=0 und damit auch f(0,0)=0.
hm, begründen? weil der Grenzwert x->0 ungleich dem Funktionswert bei 0 ist und daraus folgt Unstetigkeit ??
achso... ist deine def das gleiche wie die hier:
[mm] \bruch{df}{dx}(x_0,y_0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}
[/mm]
(wir haben für die richtungsableitung gar keine genauere def., in unsrem skript steht nur "allgemein nennt man e*grad f(x) die Richtungsableitung von f im Punkt x in der Richtung e, wenn e ein beliebiger Vektor vom Betrag 1 ist". komisch, wenn man damit die aufgabe gar nicht lösen kann... )
mit der andren def ist [mm] \bruch{df}{dx}(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1}{x} \bruch{x*0}{x²+0} [/mm] = 0 aber eigentlich ist das ja ein wiederspruch?!? *confused*
und mit deiner def komm ich irgendwie nicht weiter:
... = [mm] \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{t v}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{t v_1 (t v_2)}{(tv_1)²+(tv_2)^4} [/mm] ... ???
vielleicht kannst du mir noch ein bisschen helfen?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 So 04.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> achso... ist deine def das gleiche wie die hier:
> [mm]\bruch{df}{dx}(x_0,y_0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}[/mm]
Irgendwie nicht, dein y variert nicht mit ...
> (wir haben für die richtungsableitung gar keine genauere
> def., in unsrem skript steht nur "allgemein nennt man
> e*grad f(x) die Richtungsableitung von f im Punkt x in der
> Richtung e, wenn e ein beliebiger Vektor vom Betrag 1 ist".
> komisch, wenn man damit die aufgabe gar nicht lösen kann...
> )
Tja ...
> und mit deiner def komm ich irgendwie nicht weiter:
> ... = [mm]\limes_{t\rightarrow\0} \bruch{t v}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow\0} \bruch{t v_1 (t v_2)}{(tv_1)²+(tv_2)^4}[/mm]
Syntaktisches Grauen! Ist [m]v=(v_1,v_2)[/m]? Dann musst du den rechten Term noch durch t teilen sowie [m](tv_2)^2[/m] setzen, und dann sollte, wenn die Aufgabe richtig ist, der Grenzwert gegen 0 existieren.
Zum Gegenchecken: Falls [m]v_1\ne 0[/m] ist das Ergebnis [m]\bruch{v_2^2}{v_1}[/m], sonst 0.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 So 04.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Secki!
vielen dank für deine korrektur, hab jetzt das richtige ergebnis rausbekommen!
ja, hab [mm] v=(v_1,v_2) [/mm] gesetzt, wusste nicht wie ich es sonst machen gesollt hätte...
warum ist das ergebnis für [mm] v_1=0 [/mm] null? dann wird doch der ganze nenner 0 oder?
und was mach ich nun mit [mm] \bruch{v_2²}{v_1} [/mm] ? ist damit gezeigt dass f im nullpunkt ableitungen i n allen richtungen besitzt??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 05.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> ja, hab [mm]v=(v_1,v_2)[/mm] gesetzt, wusste nicht wie ich es sonst
> machen gesollt hätte...
Einfach mal dazuschreiben?!?
> warum ist das ergebnis für [mm]v_1=0[/mm] null? dann wird doch der
> ganze nenner 0 oder?
Nein, wieso sollte er?
> und was mach ich nun mit [mm]\bruch{v_2²}{v_1}[/mm] ? ist damit
> gezeigt dass f im nullpunkt ableitungen i n allen
> richtungen besitzt??
Jein - [m]v_1=0[/m] fehlt ja noch, aber siehe oben. Und dann gilt, dass sie nicht stetig sind in 0.
SEcki
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