Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 18.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Sei f(x,y) = [mm] e^{xy} [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3y^2. [/mm] Berechnen Sie die Richtungsableitung [mm] D_v f(x_0) [/mm] in einem beliebigen Punkt [mm] x_0 [/mm] = [mm] (x_0,y_0) \in \IR^3 [/mm] in beliebiger Richtung v = [mm] (v_1,v_2) [/mm] |
[mm] D_v f(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{f(x_0 + tv) - f(x_0)}{t}
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{(x_0 + tv)(y_0 + tv)} + 2(x_0 + tv)^3 + 3(y_0 + tv)^2 - e^{x_0 y_0} - 2x_0^3 - 3y_0^2}{t}
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{(x_0 + tv)(y_0 + tv)} - e^{x_0y_0}}{t} [/mm] + [mm] 6x_0^2v [/mm] + [mm] 6x_0 [/mm] tv + [mm] 2t^2v^3 [/mm] + [mm] 3tv^2 [/mm] + [mm] 6vy_0
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0}(e^{x_0tv}e^{y_0tv}e^{t^2v^2} - 1)}{t} [/mm] + [mm] 6x_0^2v [/mm] + [mm] 6x_0 [/mm] tv + [mm] 2t^2v^3 [/mm] + [mm] 3tv^2 [/mm] + [mm] 6vy_0
[/mm]
Nun geht der erste Ausdruck gegen [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] weshalb ich hier wohl de l'Hospital anwenden müsste:
[mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0}(e^{x_0tv}e^{y_0tv}e^{t^2v^2} - 1)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{Zaehler'}{Nenner'} [/mm] = hoffentlich endlicher Ausdruck (es bleibt ja ohnehin 'nur' die Ableitung des Zählers stehen)
Mein Problem: Gilt de l'Hospital für mehrere Veränderliche? Muss ich ernsthaft die Ableitung über 4 Produkte bilden? Geht das nicht auch irgendwie einfacher?
Schöne Grüße und Dank im Voraus,
Tobias
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> Sei f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + [mm]3y^2.[/mm] Berechnen Sie die
> Richtungsableitung [mm]D_v f(x_0)[/mm] in einem beliebigen Punkt [mm]x_0[/mm]
> = [mm](x_0,y_0) \in \IR^3[/mm] in beliebiger Richtung v = [mm](v_1,v_2)[/mm]
> [mm]D_v f(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{f(x_0 + tv) - f(x_0)}{t}[/mm]
Hallo,
wenn Du soweit bist, solltest Du in Dich gehen und folgendes bedenken:
f bildet aus dem [mm] \IR^2 [/mm] aus ab, es sind also [mm] x_0 [/mm] und v aus dem [mm] \IR^2.
[/mm]
Davon, daß im Exponenten von e das Skalarprodukt(?) irgendwelcher zweier Vektoren stehen soll, ist ja in der Definitionsgleichung eher nicht die Rede...
Angesehen davon solltest Du Dir mal angucken, was der Gradient mit der Richtungsableitung zu tun hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 19.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Angela,
ich dachte zuerst du hättest dich vertan, da [mm] x_0 [/mm] nach Vorgabe meines Professors sowohl für den Vektor als auch dessen Abszisse bezeichnet - was sicherlich etwas unglücklich ist. 
Aber bei v habe ich sicherlich Bockmist gebaut, wenn ich mir das noch einmal so durchlese.
Denn:
[mm]x_0 + tv = (x_0 + tv_1 , y_0 + tv_2)[/mm]
Und damit:
[mm]D_v f(x_0,y_0)[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{f(x_0 + tv_1 , y_0 + tv_2) - f(x_0 , y_0)}{t}[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2)} + 2(x_0 + tv_1)^3 + 3(y_0 + tv_2)^2 - e^{x_0y_0} - 2x_0^3 + 3y_0^2}{t}[/mm]
= [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2)} + 6x_0^2 tv_1 + 6 x_0 t^2 v_1^2 + t^3 v_1^3 + 6y_0tv_2 + 3t^2v_2^2 - e^{x_0y_0}}{t}[/mm]
= [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0 + x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2} - e^{x_0y_0}}{t} + 6x_0^2 v_1 + 6 x_0tv_1^2 + t^2 v_1^3 + 6y_0v_2 + 3tv_2^2 [/mm]
= [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0}(e^{x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2} - 1)}{t} + 6x_0^2 v_1 + 6 x_0tv_1^2 + t^2 v_1^3 + 6y_0v_2 + 3tv_2^2 [/mm]
Damit hänge ich allerdings wieder an zumindest sinngemäß der gleichen Stelle wie auch schon bei meinem letzten (fehlerhaften) Ansatz.
An dieser Stelle möchte ich dann mal anmerken, dass ich deinen Tipp mit dem Gradienten nicht überlesen habe.
Da ich im Formeleditor kein Nabla finde, bezeichne ich den Gradienten von f(a) im Folgenden mit grad f(a).
Definition Gradient:
[mm]grad f(a) := (\bruch{\partial f}{\partial x_1}(a), ... , \bruch{\partial f}{\partial x_n}(a))[/mm]
Formel für die Richtungsableitung:
[mm]D_vf(a) = grad f(a) * v[/mm]
Wenn ich das korrekt interpretiere hieße das, dass ich 'lediglich' das Skalarprodukt aus dem Vektor der ersten partiellen Ableitungen nach x und y im Punkt [mm] x_0 [/mm] = [mm] (x_0 ,y_0) [/mm] und dem Vektor v bilden muss?:
f(x,y) = [mm] e^{xy} [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3y^2
[/mm]
Damit erhalte ich:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_0} (x_0 , y_0) = y_0 e^{x_0y_0} + 6x_0^2[/mm]
[mm]\bruch{\partial f}{\partial y_0} (x_0 , y_0) = x_0 e^{x_0y_0} + 6y_0[/mm]
[mm]\Rightarrow grad f(x_0 , y_0) := (y_0 e^{x_0y_0} + 6x_0^2 , x_0 e^{x_0y_0} + 6y_0)[/mm]
[mm]D_v f(x_0 , y_0) = (y_0 e^{x_0y_0} + 6x_0^2 , x_0 e^{x_0y_0} + 6y_0) * (v_1 , v_2) = (v_1y_0 + v_2x_0)e^{x_0y_0} + 6(v_1 x_0^2 + v_2y_0)[/mm]
So, zumindest der letzte Teil ist identisch mit dem, den ich bei obiger deutlich komplizierterer Rechnung bei der Grenzwertbildung erhalte.
Und ich bin mir relativ sicher, dass ich auch den restlichen Ausdruck erhalten würde, wäre ich mathematisch in der Lage obiges auszuwerten.
Liebe Angela, ich bin dir schon äußerst dankbar für den Tipp mit dem Zusammenhang Gradient/Richtungsableitung. Das dürfte mir in der Zukunft vieles erleichtern.
Ich würde nur zu gerne die erste Rechnung auch noch zu Ende führen. Allein, um es mal gemacht zu haben.
Liebe Grüße,
Tobias
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Hallo MaRaQ,
> Hallo Angela,
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> ich dachte zuerst du hättest dich vertan, da [mm]x_0[/mm] nach
> Vorgabe meines Professors sowohl für den Vektor als auch
> dessen Abszisse bezeichnet - was sicherlich etwas
> unglücklich ist.
>
> Aber bei v habe ich sicherlich Bockmist gebaut, wenn ich
> mir das noch einmal so durchlese.
>
> Denn:
> [mm]x_0 + tv = (x_0 + tv_1 , y_0 + tv_2)[/mm]
>
> Und damit:
> [mm]D_v f(x_0,y_0)[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{f(x_0 + tv_1 , y_0 + tv_2) - f(x_0 , y_0)}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2)} + 2(x_0 + tv_1)^3 + 3(y_0 + tv_2)^2 - e^{x_0y_0} - 2x_0^3 + 3y_0^2}{t}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2)} + 6x_0^2 tv_1 + 6 x_0 t^2 v_1^2 + t^3 v_1^3 + 6y_0tv_2 + 3t^2v_2^2 - e^{x_0y_0}}{t}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0 + x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2} - e^{x_0y_0}}{t} + 6x_0^2 v_1 + 6 x_0tv_1^2 + t^2 v_1^3 + 6y_0v_2 + 3tv_2^2[/mm]
>
> = [mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0}(e^{x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2} - 1)}{t} + 6x_0^2 v_1 + 6 x_0tv_1^2 + t^2 v_1^3 + 6y_0v_2 + 3tv_2^2[/mm]
>
> Damit hänge ich allerdings wieder an zumindest sinngemäß
> der gleichen Stelle wie auch schon bei meinem letzten
> (fehlerhaften) Ansatz.
>
> An dieser Stelle möchte ich dann mal anmerken, dass ich
> deinen Tipp mit dem Gradienten nicht überlesen habe.
>
> Da ich im Formeleditor kein Nabla finde, bezeichne ich den
> Gradienten von f(a) im Folgenden mit grad f(a).
>
> Definition Gradient:
> [mm]grad f(a) := (\bruch{\partial f}{\partial x_1}(a), ... , \bruch{\partial f}{\partial x_n}(a))[/mm]
>
> Formel für die Richtungsableitung:
> [mm]D_vf(a) = grad f(a) * v[/mm]
>
> Wenn ich das korrekt interpretiere hieße das, dass ich
> 'lediglich' das Skalarprodukt aus dem Vektor der ersten
> partiellen Ableitungen nach x und y im Punkt [mm]x_0[/mm] = [mm](x_0 ,y_0)[/mm]
> und dem Vektor v bilden muss?:
>
> f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + [mm]3y^2[/mm]
>
> Damit erhalte ich:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_0} (x_0 , y_0) = y_0 e^{x_0y_0} + 6x_0^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y_0} (x_0 , y_0) = x_0 e^{x_0y_0} + 6y_0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow grad f(x_0 , y_0) := (y_0 e^{x_0y_0} + 6x_0^2 , x_0 e^{x_0y_0} + 6y_0)[/mm]
>
> [mm]D_v f(x_0 , y_0) = (y_0 e^{x_0y_0} + 6x_0^2 , x_0 e^{x_0y_0} + 6y_0) * (v_1 , v_2) = (v_1y_0 + v_2x_0)e^{x_0y_0} + 6(v_1 x_0^2 + v_2y_0)[/mm]
>
> So, zumindest der letzte Teil ist identisch mit dem, den
> ich bei obiger deutlich komplizierterer Rechnung bei der
> Grenzwertbildung erhalte.
> Und ich bin mir relativ sicher, dass ich auch den
> restlichen Ausdruck erhalten würde, wäre ich mathematisch
> in der Lage obiges auszuwerten.
>
> Liebe Angela, ich bin dir schon äußerst dankbar für den
> Tipp mit dem Zusammenhang Gradient/Richtungsableitung. Das
> dürfte mir in der Zukunft vieles erleichtern.
>
> Ich würde nur zu gerne die erste Rechnung auch noch zu Ende
> führen. Allein, um es mal gemacht zu haben.
Es geht ja um den Ausdruck
[mm]\limes_{t\rightarrow0} \bruch{e^{x_0y_0}(e^{x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2} - 1)}{t}[/mm]
Um den Grenzwert zu bestimmen, schreibe den Ausdruck in der Klammer als Potenzreihe:
[mm]e^{x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\left(x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2\right)^{k}}{k!}[/mm]
[mm]=1+\left(x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2\right)+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{\left(x_0tv_2 + y_0tv_1 + t^2v_1v_2\right)^{k}}{k!}[/mm]
Dann kannst Du den Grenzwert bestimmen.
>
> Liebe Grüße,
>
> Tobias
Gruß
MathePower
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