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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:36 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Bestimme die Ableitungenan der Stelle [mm] (x_0,y_0) [/mm] In Richtung des Winkels [mm] \alpha
[/mm]
1. [mm] f.\IR^2 \to \IR, (x,y)\to x^2y^3, (x_0,y_0)=(1,-2), \alpha=\bruch{\pi}{6}
[/mm]
2. f: [mm] \IR^2\{0}\to \IR, (x,y)\to \bruch{8}{x^2+y^2}, (x_0,y_0)=(\wurzel{3},1), \alpha=-\bruch{\pi}{3} [/mm] |
Könnt ihr mir erklären wie man diese Ableitungen mit dem Winkel bildet?
Ich bilde mal die Ableitungen und setze den Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein
[mm] f_x(x,y)=2xy^3=-16
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=3x^2y^2=12
[/mm]
[mm] f_{xy}=6xy^2=24
[/mm]
[mm] f_{yx}=6xy^2=24
[/mm]
[mm] f_{xx}=2y^3=-16
[/mm]
[mm] f_{yy}=6x^2y=12
[/mm]
Jetzt brauche ich etwas Hilfe!
LG
heinze
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Der Winkel entspricht ja eine bestimmten Steigung. Diese Steigung kann man als Vektor darstellen. Diesen sollte man normieren und dann kann man ganz normal die Richtungsableitung bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Kannst du mir das bitte nochmal erklären? Das habe ich für mein Besiepile nicht so recht verstanden. In Büchern konnte ich bisher kein ähnliches Beispiel mit Winkel finden.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 So 13.05.2012 | | Autor: | fred97 |
,
Zum Winkel [mm] \alpha [/mm] gehört der Richtungsvektor [mm] (cos(\alpha),sin( \alpha))
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 So 13.05.2012 | | Autor: | Infinit |
... und das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten der Funktion und dem Richtungsvektor (bitte normieren) gibt Dir die Ableitung der Funktion in Richtung dieses Vektors.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Wenn ich den Vekor normiere dann muss ich doch den vektor durch seine Länge teilen.
Die Länge des Vektors wäre ja dann [mm] \wurzel{(cos\bruch{\pi}{6})^2+(sin\bruch{\pi}{6})^2} [/mm]
[mm] \vektor{\bruch{1}{cos(\bruch{\pi}{6}} \\ \bruch{1}{sin(\bruch{\pi}{6}}}
[/mm]
So und diesen Vektor muss ich nun mit dem Gradienten von f multiplizieren? Und was ist mit dem Punkt [mm] (x_0,y_0)? [/mm] Wir der zum Schluss erst eingesetzt?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 So 13.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo heinze,
ja, ich würde das erst mal allgemein hinschreiben und am Schluss einsetzen. Ein Tipp noch für die Länge des Vektors, es gibt da sowas wie
[mm] \cos^2 x + \sin^2 x = 1 [/mm] 
Damit geht dies wohl recht schnell.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Also bleibt der veltor normiert wieder
[mm] \vektor{cos\bruch{\pi}{6} \\ sin\bruch{\pi}{6}}
[/mm]
Und das Skalarprodukt aus Vektor und Gradient der Funktion lautet dann:
[mm] \vektor{2xy^3 \\ 3x^2y^2} \vektor{cos\bruch{\pi}{6} \\ sin\bruch{\pi}{6}}=\vektor{2xy^3*cos\bruch{\pi}{6} \\ 3x^2y^2*sin\bruch{\pi}{6}}=
[/mm]
[mm] \vektor{-16*cos\bruch{\pi}{6} \\ 12*sin\bruch{\pi}{6}}
[/mm]
Sind das nun die Ableitungen der Funktion an der stelle [mm] (x_0,y_0) [/mm] in die durch [mm] \alpha [/mm] vorgegebene Richtung?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 13.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo heinze,
das was Du da hingeschrieben hast, ist ein Vektor und kein Skalarprodukt. Beim Skalarprodukt werden die einzelnen Komponenten der Vektoren ausmultipliziert und aufaddiert, sonst wäre es kein Skalar.
Davon abgesehen ist der Weg okay.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Dann muss es heißen:
[mm] 2xy^3*cos\bruch{\pi}{6}+3x^2y^2*sin\bruch{\pi}{6}=-16*cos\bruch{\pi}{6}+12*sin\bruch{\pi}{6}
[/mm]
kann man das so stehen lassen als Richtungsableitung?Und mehr ist hier nicht zu amchen bei der Aufgabe?
LG
heinze
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Hallo,
> Dann muss es heißen:
>
> [mm]2xy^3*cos\bruch{\pi}{6}+3x^2y^2*sin\bruch{\pi}{6}=-16*cos\bruch{\pi}{6}+12*sin\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> kann man das so stehen lassen als Richtungsableitung?Und
> mehr ist hier nicht zu amchen bei der Aufgabe?
Im Prinzip ja. Aber ich würde unbedingt die Werte der Winkelfunktionen hinschreiben und mitverrechnen, das gehört schon dazu.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Wie meinst du das?
Kannst du mir das nochmal kurz erklären?
LG
heinze
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Hallo,
[mm] sin\left(\bruch{\pi}{6}\right)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] cos\left(\bruch{\pi}{6}\right)=?
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
achso....also ich soll am Ende so ausrechnen, dass ich eine zahl erhalte ohne sin, cos?
LG
heinze
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Hallo,
> achso....also ich soll am Ende so ausrechnen, dass ich eine
> zahl erhalte ohne sin, cos?
ich würde sagen, in diesem Fall schon. Denn beides sind elementare Werte (die man unbedingt kennen sollte  ).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
2. Beispiel:
[mm] \IR^2\{0}\to \IR, (x,y)\to \bruch{8}{x^2+y^2}, (x_0,y_0)=(\wurzel{3},1), \alpha=-\bruch{\pi}{3}
[/mm]
Richtungsvektor [mm] -\vektor{cos\bruch{\pi}{3} \\ sin\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
Dann ist das Skalarprodukt aus Gradient der Funktion und Richtungsvektor:
[mm] -\vektor{\bruch{16x}{(x^2+y^2)^2}\\ \bruch{16y}{(x^2+y^2)^2}}*(-\vektor{cos\bruch{\pi}{3} \\ sin\bruch{\pi}{3}})
[/mm]
[mm] =\bruch{16x*cos\bruch{\pi}{3}}{(x^2+y^2)^2}+ \bruch{16y*sin\bruch{\pi}{3}}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Punkt einsetzen
[mm] =\bruch{16*\wurzel{3}*cos\bruch{\pi}{3}}{16}+\bruch{16*sin\bruch{\pi}{3}}{16}
[/mm]
[mm] =\wurzel{3}
[/mm]
habe ich mich hier verrechnet ode geht das in Ordnung?
LG
heinze
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Hallo,
> 2. Beispiel:
>
> [mm]\IR^2\{0}\to \IR, (x,y)\to \bruch{8}{x^2+y^2}, (x_0,y_0)=(\wurzel{3},1), \alpha=-\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> Richtungsvektor [mm]-\vektor{cos\bruch{\pi}{3} \\
sin\bruch{\pi}{3}}[/mm]
nein: das ist flasch, wie kommst du darauf?
> Dann ist das Skalarprodukt aus Gradient der Funktion und
> Richtungsvektor:
>
> [mm]-\vektor{\bruch{16x}{(x^2+y^2)^2}\\
\bruch{16y}{(x^2+y^2)^2}}*(-\vektor{cos\bruch{\pi}{3} \\
sin\bruch{\pi}{3}})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{16x*cos\bruch{\pi}{3}}{(x^2+y^2)^2}+ \bruch{16y*sin\bruch{\pi}{3}}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Punkt einsetzen
>
> [mm]=\bruch{16*\wurzel{3}*cos\bruch{\pi}{3}}{16}+\bruch{16*sin\bruch{\pi}{3}}{16}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{3}[/mm]
>
> habe ich mich hier verrechnet ode geht das in Ordnung?
Wie gesagt: der Richtungsvekror ist flsch, daswegen macht der Rest leider auch keine Sinn. Die letzte Gleichheit wäre richtig gewesen, aber ich würde die Winkelfunktionswerte gleich zu Beginn hinschreiben, um mit ihnen zu rechnen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Warum ist der falsch? Ich habe wieder Vektor durch Länge geteilt und da ja wieder [mm] (-cos)^2+(-sin)^2 [/mm] =1 und ich also den vektor durch 1 teilen muss, was ja nichts verändert.
Wie muss es denn richtig lauten?
LG
heinze
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Hallo,
cos(-x)=cos(x)
du hast also einen Vorzeichenfehler in der [mm] x_1-Komponente [/mm] deines Richtungsvektors.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
Also ist dann richtig:
[mm] \vektor{cos\bruch{\pi}{3} \\ -sin\bruch{\pi}{3}}?
[/mm]
Damit kann ich dann weiter rechnen?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Also ist dann richtig:
>
> [mm]\vektor{cos\bruch{\pi}{3} \\ -sin\bruch{\pi}{3}}?[/mm]
>
> Damit kann ich dann weiter rechnen?
>
Ja.
> LG
> heinze
Gruss
MathePower
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