Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mo 18.11.2013 | | Autor: | petapahn |
Guten Abend,
Kann mir jemand mal kurz etwas erklären zur Richtungsableitung?
Und zwar:
(1.)Warum entspricht die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt in Richtung eines Vektors nur der Richtungsableitung wenn dieser Richtungsvektor ein Einheitsvektor ist?
(2.) Sei v ein beliebiger Richtungsvektor. Sei nun [mm] $v'=\alpha*v [/mm] mit [mm] \alpha>0.
[/mm]
Dann ist doch die Richtung dieselbe, nur die Länge unterschiedlich oder?
Die Richtungsableitung einer Funktion f in Richtung v' wäre also [mm] \alpha [/mm] * Richtungsableitung von f in Richtung v?
LG petapahn
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Hallo petapahn,
> Kann mir jemand mal kurz etwas erklären zur
> Richtungsableitung?
> Und zwar:
> (1.)Warum entspricht die Steigung einer Funktion in einem
> bestimmten Punkt in Richtung eines Vektors nur der
> Richtungsableitung wenn dieser Richtungsvektor ein
> Einheitsvektor ist?
Na, wenn der Richtungsvektor nicht "normiert" wäre (was immer das dann im einzelnen heißt!), dann wäre die Steigung ja mit dem Vektor beliebig skalierbar.
Allerdings muss die "Normierung" festgelegt sein. Außer der naheliegenden Betrag 1 des Vektors könnte ja auch z.B. [mm] \wurzel{2} [/mm] oder [mm] \sin{\varphi} [/mm] sein, wobei [mm] \varphi [/mm] der Winkel zwischen dem Vektor und einer bestimmten der Koordinatenachsen sein könnte.
Mit anderen Worten: beweis mal selbst, warum der Betrag gerade 1 sein muss. Wie gesagt: festgelegt sein muss er ja auf jeden Fall.
> (2.) Sei v ein beliebiger Richtungsvektor. Sei nun
> [mm]$v'=\alpha*v[/mm] mit [mm]\alpha>0.[/mm]
> Dann ist doch die Richtung dieselbe, nur die Länge
> unterschiedlich oder?
Offensichtlich.
> Die Richtungsableitung einer Funktion f in Richtung v'
> wäre also [mm]\alpha[/mm] * Richtungsableitung von f in Richtung
> v?
Nein, wieso? Ist denn v' normiert? Davon war nicht die Rede. Und selbst wenn, was ist denn dann der Faktor? [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \alpha^{-1}.
[/mm]
Selbst nachdenken macht schlau. 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mo 18.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend,
> Kann mir jemand mal kurz etwas erklären zur
> Richtungsableitung?
> Und zwar:
> (1.)Warum entspricht die Steigung einer Funktion in einem
> bestimmten Punkt in Richtung eines Vektors nur der
> Richtungsableitung wenn dieser Richtungsvektor ein
> Einheitsvektor ist?
>
> (2.) Sei v ein beliebiger Richtungsvektor. Sei nun
> [mm]$v'=\alpha*v[/mm] mit [mm]\alpha>0.[/mm]
> Dann ist doch die Richtung dieselbe, nur die Länge
> unterschiedlich oder?
> Die Richtungsableitung einer Funktion f in Richtung v'
> wäre also [mm]\alpha[/mm] * Richtungsableitung von f in Richtung
> v?
Ja, das stimmt:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+t(\alpha*v))-f(x_0)}{t}=\alpha*\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+(t\alpha)*v)-f(x_0)}{\alpha t}=\alpha*\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+sv)-f(x_0)}{s}
[/mm]
FRED
> LG petasahn
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