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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y)=
[mm] =\begin{cases} \bruch{y²}{x},& \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie: In (0, 0) ist f unstetig, besitzt jedoch alle Richtungsableitungen. |
Um zu zeigen, dass f in (0,0) alle Richtungsableitungen besitzt habe ich es so probiert:
1. Existenz aller Richtungsableitungen in (0,0):
Für eine Richtung [mm] \alpha [/mm] (insbesondere [mm] \alpha=(u,v) \el \IR^2 [/mm] \ {(0,0)} und [mm] norm(\xi)_2=1) [/mm] berechnen wir für [mm] t\not=0:
[/mm]
[mm] \bruch{f(t*\alpha)}{t}=\bruch{v²}{u}
[/mm]
Falls u=0 und [mm] v\not=0 [/mm] gilt:
[mm] \bruch{f(t*\alpha)}{t}=\bruch{v²}{0}=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t*\alpha)}{t}=\infty
[/mm]
Falls [mm] u\not=0 [/mm] und v=0
[mm] \bruch{f(t*\alpha)}{t}=\bruch{0}{u}=0
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}=0
[/mm]
falls [mm] u\not=0 [/mm] und [mm] v\not=0
[/mm]
[mm] \bruch{f(t*\alpha)}{t}=\bruch{v²}{u}
[/mm]
und [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{v²}{u}=\bruch{v²}{u}
[/mm]
Ist damit dann bewiesen, dass alle Richtungsgleichungen existieren?
Für den Nachweis der Unstetigkeit in (0,0) nehme ich doch "einfach" eine [mm] a_n (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n²}), b_n (\bruch{2}{n},\bruch{2}{n²}), [/mm] zeige, dass die nach (0,0) gehen, aber [mm] f(a_n) \not=0 f(b_n) [/mm] ist? Oder täusche ich mich bzw. hab was falsch gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirage.Mirror!
> Für den Nachweis der Unstetigkeit in (0,0) nehme ich doch
> "einfach" eine [mm]a_n (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n²}), b_n (\bruch{2}{n},\bruch{2}{n²}),[/mm]
> zeige, dass die nach (0,0) gehen, aber [mm]f(a_n) \not=0 f(b_n)[/mm] ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Bereits ein Gegenbeispiel (wie von Dir genannt) widerlegt die Stetigkeit.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 03.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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