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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:06 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
ich wollte mal eure Meinung zu diesen Antworten zu folgenden MC-Aufg. wissen. Bin mir da etwas unsicher:
Konvergieren die folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale?
a) [mm]\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^{2x}-1}}\, dx [/mm], also ich würde hier ja sagen, so rein intuitiv. Ich habe versucht mit dem Vergleichskrit. zu arbeiten. Habe dann wie folgt abgeschätzt
[mm]\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^{2x}-1}}\, dx < \bruch{1}{\wurzel{2}}\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^x-1}}\, dx [/mm]
[mm]\lim_{a \to \0} \bruch{1}{\wurzel{2}}\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^x-1}}\, dx [/mm]
[mm]=\lim_{a \to \0} \bruch{1}{\wurzel{2}}(-2xarctanh(\wurzel{e^x+1}) |^5_a + 2\int_{a}^{5} arctanh(\wurzel{e^x+1})\, dx [/mm]
Jedoch komme ich hier nicht weiter.
b) [mm]int_{a}^{2} \bruch{cos(1/x)}{x³}\, dx[/mm]
Hier: Es gilt ja:
[mm]int_{0}^{2} \bruch{cos(1/x)}{x³}\, dx[/mm]
[mm]=\lim_{a \to \0} int_{a}^{2} \bruch{cos(1/x)}{x³}\, dx [/mm]
[mm]=\lim_{a \to \0} (-cos(1/2)-\bruch{sin(1/2)}{2} +cos(1/a)+\bruch{cos(1/a)}{a}[/mm]
Es gibt hier doch keinen eindeutigen Grenzwert, somit würde dies doch divergieren (wegen cos und sin). Somit würde ich nein sagen.
Und dann das hier noch:
Sei [mm]I \subset \IR[/mm] ein unbeschränktes Intervall. Ist für jedes uneigentliche Riemann-integrierbare [mm]f:I \rightarrow [0,1][/mm] auch [mm]\wurzel{f}[/mm] uneigentlich Riemann-integrierbar?
Und:
Sei [mm]I \subset \IR[/mm] ein Intervall positiver Länge. Ist für jedes uneigentliche Riemann-integrierbare [mm]f:I \rightarrow [1, \infty)[/mm] auch [mm]\wurzel{f}[/mm] uneigentlich Riemann-integrierbar?
Ich würd bei beiden Nein sagen!
Danke schon im voraus
Bis denne Jessica
(Christa: Also so langsam aber sicher werde ich darüber nachdenken für's abtippen Geld zu nehmen...AUFSTAND der Haussklaven. Ich forder eine REVOLUTION!!!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:24 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
> Hallo zusammen,
>
> ich wollte mal eure Meinung zu diesen Antworten zu
> folgenden MC-Aufg. wissen. Bin mir da etwas unsicher:
Ich mir leider auch.
> Konvergieren die folgenden uneigentlichen
> Riemann-Integrale?
> a) [mm]\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^{2x}-1}}\, dx [/mm], also
Das Integral konvergiert auf jeden Fall, da
[mm] $\int_0^{\infty} \frac{x}{e^x-1} [/mm] dx = [mm] \frac{\pi^2}{6}$.
[/mm]
Allerdings verstehe ich deine Argumentation nicht.
> ich würde hier ja sagen, so rein intuitiv. Ich habe
> versucht mit dem Vergleichskrit. zu arbeiten. Habe dann wie
> folgt abgeschätzt
>
> [mm]\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^{2x}-1}}\, dx < \bruch{1}{\wurzel{2}}\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^x-1}}\, dx[/mm]
Warum und wie hast du hier abgeschätzt? Ich hätte einfach eine Substitution $y=2x$ gemacht!(?)
> [mm]\lim_{a \to \0} \bruch{1}{\wurzel{2}}\int_{0}^{5} \bruch{x}{\wurzel{e^x-1}}\, dx[/mm]
>
> [mm]=\lim_{a \to \0} \bruch{1}{\wurzel{2}}(-2xarctanh(\wurzel
>{e^x+1}) |^5_a + 2\int_{a}^{5} arctanh(\wurzel{e^x+1})\, dx [/mm]
Das verstehe ich nicht. Ich nehme mal an, dass $arctanh$ die Umkehrfunktion von [mm] $\tanh$ [/mm] sein soll (diese bezeichnet man im Allgemeinen mir $artanh$. Aber kannst du mir mal vorrechnen, warum
[mm] $artanh(\wurzel{e^x+1}$ [/mm] die Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{\wurzel{e^x-1}}$ [/mm] sein soll? Das sehe ich nämlich nicht.
> Jedoch komme ich hier nicht weiter.
Ich würde es ganz anders machen, indem ich versuchen würde in der Nähe von $0$ den Integranden durch [mm] $\frac{x}{e^x-1}$ [/mm] abzuschätzen.
> b) [mm]int_{a}^{2} \bruch{cos(1/x)}{x³}\, dx[/mm]
>
> Hier: Es gilt ja:
>
> [mm]int_{0}^{2} \bruch{cos(1/x)}{x³}\, dx[/mm]
> [mm]=\lim_{a \to \0} int_{a}^{2} \bruch{cos(1/x)}{x³}\, dx[/mm]
>
> [mm]=\lim_{a \to \0} (-cos(1/2)-\bruch{sin(1/2)}{2} +cos(1/a)+\bruch
>{cos(1/a)}{a}[/mm]
Stimmen hier wirklich die Vorzeichen?? Dann habe ich mich verrechnet. Kannst du das bitte noch einmal überprüfen? Danke!
> Es gibt hier doch keinen eindeutigen Grenzwert, somit würde
> dies doch divergieren (wegen cos und sin). Somit würde ich
> nein sagen.
Ich auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dann das hier noch:
>
> Sei [mm]I \subset \IR[/mm] ein unbeschränktes Intervall. Ist für
> jedes uneigentliche Riemann-integrierbare [mm]f:I \rightarrow [0,1][/mm]
> auch [mm]\wurzel{f}[/mm] uneigentlich Riemann-integrierbar?
Nein. Gegenbeispiel:
$f: [mm] \IR \to [/mm] [0,1]$, $f(x) = [mm] \frac{1}{1+x^2}$.
[/mm]
> Sei [mm]I \subset \IR[/mm] ein Intervall positiver Länge. Ist für
> jedes uneigentliche Riemann-integrierbare [mm]f:I \rightarrow [1, \infty)[/mm]
> auch [mm]\wurzel{f}[/mm] uneigentlich Riemann-integrierbar?
Ich würde sagen: ja. Ist denn in diesem Fall $f$ keine Majorante von [mm] $\wurzel{f}$? [/mm]
Aber es mag sein, dass ich Unsinn rede. Es ist spät, ich bin müde, das ist alles ewig lange her für mich. Vielleicht kann ja der ein oder andere noch aktive Mathestudent mehr dazu sagen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Christa |
Hallo stefan,
deine Antworten waren alle richtig. Danke hatte somit alles richtig.
Also die Stamfunktionen die ich da geschrieben hatte, habe ich von Maple genannt bekommen. Es kann aber sein, dass ich mich irgendwo dabei vertippt habe oder etwas falsches eingegeben habe. Ich habe damit noch nie gearbeitet.
Nochmals danke
Jessica
Sorry habe nicht bemerkt, dass meine schwester noch eingeloggt war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Sorry habe nicht bemerkt, dass meine schwester noch
> eingeloggt war.
Sag' bloß, du hast diesmal selbst getippt 
Marc
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