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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 05.08.2013 | | Autor: | fernweh |
Hallo zusammen
Vermutlich geht hier was schief - nur was? (leider keine Aufgabenstellung - nur ein Gedankenexperiment).
[mm] $\frac{du}{dt}+\frac{d}{dx} u^4 [/mm] = 0$
Nun rechne ich
[mm] $\frac{du}{dt} [/mm] = [mm] -\frac{d}{dx} u^4 [/mm] = [mm] -4u^3 \frac{du}{dx}$
[/mm]
Beide Seiten [mm] $*\frac{dx}{du}$ [/mm] gibt
[mm] $\frac{dx}{dt} [/mm] = [mm] -4u^3$
[/mm]
Das stimmt wohl soweit - bis auf das Vorzeichen. Oder übersehe ich was? Formal ist es sicher nicht so ganz korrekt, aber so um dies schnell umzuformen, sollte das doch funktionieren?
Viele Grüsse
fernweh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 06.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Vermutlich geht hier was schief - nur was? (leider keine
> Aufgabenstellung - nur ein Gedankenexperiment).
hier ist aber $u=u(x)$ und $x=x(t)$?
> [mm]\frac{du}{dt}+\frac{d}{dx} u^4 = 0[/mm]
>
> Nun rechne ich
> [mm]\frac{du}{dt} = -\frac{d}{dx} u^4 = -4u^3 \frac{du}{dx}[/mm]
Das sehe ich genauso:
[mm] $\frac{du}{dt}=-\frac{d}{dx}u^4=-\frac{d}{du}u^4 *\frac{du}{dx}$
[/mm]
nach der Kettenregel.
> Beide Seiten [mm]*\frac{dx}{du}[/mm] gibt
> [mm]\frac{dx}{dt} = -4u^3[/mm]
Es ist also
[mm] $\red{\mathbf{\dot}}\!\!x(t)\;=\;-4\;\;(u(x(t)))^3\,.$
[/mm]
> Das stimmt wohl soweit - bis auf das Vorzeichen.
Warum bis auf das Vorzeichen?
> Oder übersehe ich was? Formal ist es sicher nicht so ganz
> korrekt, aber so um dies schnell umzuformen, sollte das
> doch funktionieren?
Formal fehlen vor allem schonmal die Voraussetzungen, warum man so
rechnen darf. Aber prinzipiell solltest Du passende ergänzen können und
das Ganze dann mit bekannten Rechenregeln begründen können. Ich sehe
da nun kein Problem - wie kommst Du auf die "Vorzeichenproblematik"?
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:00 Di 06.08.2013 | | Autor: | fernweh |
Naja, nehmen wir Burger Equation (ohne Reibung), also [mm] $\frac{1}{2}u^2$ [/mm] statt [mm] $u^4$. [/mm] Dann kriegen wir [mm] $\frac{du}{dt}=-u\frac{du}{dx}$, [/mm] also [mm] $\frac{dx}{dt}=-u$.
[/mm]
Nur wäre ja für die Burger Equation richtigerweise [mm] $\frac{dx}{dt}=u$. [/mm]
Ich denke dass Problem ist wohl, weil [mm] $\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}. [/mm] Nur sehe ich den Link zur "Vorzeichenproblematik" nicht..
Und klar, normal ist $u=u(x,t)$ und $x=x(t)$.> Hallo,
>
> > Hallo zusammen
> >
> > Vermutlich geht hier was schief - nur was? (leider keine
> > Aufgabenstellung - nur ein Gedankenexperiment).
>
> hier ist aber [mm]u=u(x)[/mm] und [mm]x=x(t)[/mm]?
>
> > [mm]\frac{du}{dt}+\frac{d}{dx} u^4 = 0[/mm]
> >
> > Nun rechne ich
> > [mm]\frac{du}{dt} = -\frac{d}{dx} u^4 = -4u^3 \frac{du}{dx}[/mm]
>
> Das sehe ich genauso:
>
> [mm]\frac{du}{dt}=-\frac{d}{dx}u^4=-\frac{d}{du}u^4 *\frac{du}{dx}[/mm]
>
> nach der Kettenregel.
>
> > Beide Seiten [mm]*\frac{dx}{du}[/mm] gibt
> > [mm]\frac{dx}{dt} = -4u^3[/mm]
>
> Es ist also
>
> [mm]\red{\mathbf{\dot}}\!\!x(t)\;=\;-4\;\;(u(x(t)))^3\,.[/mm]
>
> > Das stimmt wohl soweit - bis auf das Vorzeichen.
>
> Warum bis auf das Vorzeichen?
>
> > Oder übersehe ich was? Formal ist es sicher nicht so ganz
> > korrekt, aber so um dies schnell umzuformen, sollte das
> > doch funktionieren?
>
> Formal fehlen vor allem schonmal die Voraussetzungen, warum
> man so
> rechnen darf. Aber prinzipiell solltest Du passende
> ergänzen können und
> das Ganze dann mit bekannten Rechenregeln begründen
> können. Ich sehe
> da nun kein Problem - wie kommst Du auf die
> "Vorzeichenproblematik"?
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Di 06.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fernweh,
> Naja, nehmen wir Burger Equation (ohne Reibung), also
> [mm]\frac{1}{2}u^2[/mm] statt [mm]u^4[/mm]. Dann kriegen wir
> [mm]\frac{du}{dt}=-u\frac{du}{dx}[/mm], also [mm]\frac{dx}{dt}=-u[/mm].
>
> Nur wäre ja für die Burger Equation richtigerweise
> [mm]\frac{dx}{dt}=u[/mm].
>
> Ich denke dass Problem ist wohl, weil
> [mm]$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}.[/mm]
> Nur sehe ich den Link zur "Vorzeichenproblematik" nicht..
ich auch nicht. Aber wenn da $u=u(x,t)$ und $x=x(t)$ ist, dann ist das doch was
anderes, wie, wenn $u=u(x(t))$ ist - Du hast so gerechnet, als wenn $u=u(x(t))$ wäre.
Das ist wohl bei der Burger Equation i.a. so nicht gegeben.
(Und ja: Das ist die gleiche Problematik, die Du als wahrscheinliche
Fehlerquelle angibst - aus dem von mir erwähnten Unterschied ergibt sich
der, den Du erwähnst.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Do 08.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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