Riemannintegrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Fkt. F:[-1,1] [mm] ->\IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2cos(\frac{\pi}{x^2}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass F zwar differenzierbar auf ]-1,1[ ist, die Ableitung F' aber nicht Riemannintegrierbar ist. |
Hallo,
Differenzierbarkeit:
[mm] x\not= [/mm] 0:
Als Komposition differenzierbarer Fkt. ist F differenzierbar auf [mm] \IR
[/mm]
x=0:
wegen [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{F(0+h) -F(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} h*cos(\frac{\pi}{h^2}) [/mm] = 0 => existiert ,
ist F an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 differenzierbar auf ganz [mm] \IR. [/mm] Wieso soll ich hier mit ]-1,1[ arbeiten?
F'(x) = [mm] 2xcos(\frac{\pi}{x^2}) [/mm] + [mm] 2sin(\frac{\pi}{x^2})\frac{\pi}{x} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
F'(0) = 0
Riemannintegrierbar ist F' ja wenn die Riemannsumme mit jeglicher Zerlegung und Zwischenstellen den selben Grenzwert besitzt; wie zeige ich das jedoch? Bzw. gibt es da ein leichter zu zeigendes Kriterium für Riemannintegrierbarkeit?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige: F' ist auf [-1,1] nicht beschränkt
FRED
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Hi,
aber ist es in [-1,1] nicht durch -1 und 1 beschränkt, weil der cos immer [mm] \in [/mm] [-1,1] ist und [mm] x^2 \le [/mm] 1 sein wird?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Do 24.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht doch um F' du scheinst über F zu reden?
Gruss leduart
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Hi,
das heißt hier könnte ich argumentieren,
wegen [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] F'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} 2xcos(\pi [/mm] \ [mm] x^2) [/mm] + [mm] 2sin(\pi [/mm] \ [mm] x^2 [/mm] ) [mm] \pi [/mm] \ x = [mm] \infty [/mm] , weil [mm] \pi [/mm] \ x gegen Unendlich schießt, ist F' in [-1,1] nicht integrierbar, da nicht beschränkt ?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Fr 25.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> das heißt hier könnte ich argumentieren,
> wegen [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] F'(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 2xcos(\pi[/mm]
> \ [mm]x^2)[/mm] + [mm]2sin(\pi[/mm] \ [mm]x^2[/mm] ) [mm]\pi[/mm] \ x = [mm]\infty[/mm] , weil [mm]\pi[/mm] \
> x gegen Unendlich schießt, ist F' in [-1,1] nicht
> integrierbar, da nicht beschränkt ?
Ja, aber mach es sauber: finde eine Nullfolge [mm] (x_n), [/mm] so dass [mm] (F'(x_n)) [/mm] unbeschränkt ist
FRED
>
> Snafu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Fr 25.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
OK, dass schaff ich dann auch alleine. Vielen Dank.
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