Riemannsche Summe < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll gelten: a>0.
Berechne mit Riemannscher Summen das Integral [mm] \integral_{0}^{a}{x^{2} dx} [/mm] |
Könnt ihr mir vielleicht bei der Aufgabe helfen? Ich komme einfach überhaupt nicht klar und verstehe es nicht. Es ist eine Beispielfunktion aber ich habe es einfach nicht verstanden. Vielleicht könnt ihr mir dazu ja Lösungswege bzw Hilfe geben. Denn wenn es am beispiel schon scheitert, dann werde ich auch die richtigen Aufgaben nicht können.
Was ich soweit weiß:
Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei Familien von Rechtecken so wählt, dass der Graph der Funktion zwischen ihnen liegt.
Dann erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung des Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen. Entsprechend lässt sich der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse durch die Flächeninhalte der Rechtecke approximieren.
Das weiß ich ja, aber wie wende ich die Riemansche Summenformel an??? ich verstehe die Theorie aber habe es noch nie angewendet :(
Bitte helft mir!
mfg mathegirl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 14.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es soll gelten: a>0.
>
> Berechne mit Riemannscher Summen das Integral
> [mm]\integral_{0}^{a}{x^{2} dx}[/mm]
> Könnt ihr mir vielleicht bei
> der Aufgabe helfen? Ich komme einfach überhaupt nicht klar
> und verstehe es nicht. Es ist eine Beispielfunktion aber
> ich habe es einfach nicht verstanden. Vielleicht könnt ihr
> mir dazu ja Lösungswege bzw Hilfe geben. Denn wenn es am
> beispiel schon scheitert, dann werde ich auch die richtigen
> Aufgaben nicht können.
>
> Was ich soweit weiß:
> Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei
> Familien von Rechtecken so wählt, dass der Graph der
> Funktion zwischen ihnen liegt.
Da das Integral existierst, brauchst du nur Unter- oder Obersummen zu nehmen, von der Theorie weisst du dass alles gegen den Wert des Integrales konvertiert.
Nimm doch mal die Intervalle [mm] $I_i [/mm] = [mm] [\frac{i}{n} [/mm] a, [mm] \frac{i+1}{n} [/mm] a]$ mit $i = 0, [mm] \dots, [/mm] n-1$ und dazu die Stuetzstellen [mm] $\zeta_i [/mm] = [mm] \frac{i}{n} [/mm] a$. Dann ist [mm] $\zeta_i \in I_i$ [/mm] und [mm] $x^2$ [/mm] nimmt auf [mm] $I_i$ [/mm] das Minimum in [mm] $\zeta_i$ [/mm] an.
Jetzt versuche mal, die Riemannsche Summe [mm] $\sum_{i=0}^{n-1} f(\zeta_i) L(I_i)$ [/mm] zu berechnen mit [mm] $L(I_i)$ [/mm] der Laenge von [mm] $I_i$, [/mm] also [mm] $L(I_i) [/mm] = [mm] \frac{i+1}{n} [/mm] a - [mm] \frac{i}{n} [/mm] a$. Fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] konvergiert dies nach der Theorie gegen [mm] $\int_0^a [/mm] f(x) dx$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Mathegirl |
Ich glaube ich bin viel zu blöd für Mathe :,( denn jetzt verstehe ich gar nichts mehr ...... kannst du mir das nicht mal an einem Beispiel demonstrieren??
Das wäre für mich glaub ich am besten verständlich.
mfg mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Mo 14.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo du!
> Ich glaube ich bin viel zu blöd für Mathe :,( denn jetzt
> verstehe ich gar nichts mehr ...... kannst du mir das nicht
> mal an einem Beispiel demonstrieren??
Das ist ein sehr konkretes Beispiel! Zeiche doch mal die Funktion $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf dem Intervall $[0, a]$ auf (nimm z.B. $a = 2$ oder 3). Und dann zeichne die Intervalle [mm] $I_i$ [/mm] ein, etwa fuer $n = 4$ oder 6, und zeichne die [mm] $\zeta_i$ [/mm] zusammen mit [mm] $f(\zeta_i)$ [/mm] ein. Wenn du jetzt Kaestchen einzeichnest, die auf der $x$-Achse [mm] $I_i$ [/mm] sind und auf der $y$-Achse von 0 bis [mm] $f(\zeta_i)$ [/mm] gehen, hast du alles beisammen. Die Summe [mm] $\sum_{i=0}^{n-1} f(\zeta_i) L(I_i)$ [/mm] ist gerade die Summe ueber die Flaecheninhalte dieser Kaestchen!
LG Felix
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