Riemannsche Summe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 So 03.01.2010 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{2}{ x^2 dx} [/mm] |
Hallo,
ich will obiges Integral per Riemannscher Summen lösen, in einer Aufgabenstellung die ich hier hab steht noch man solle eine äquidistante Teilung des Intervalls benutzen. Könnte mir jemand kurz erklären was das genau bedeutet? Steh grad nen bisserl aufm Schlauch...
lg, chip
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Hallo chipbit,
> [mm]\integral_{-1}^{2}{ x^2 dx}[/mm]
> Hallo,
> ich will obiges Integral per Riemannscher Summen lösen,
> in einer Aufgabenstellung die ich hier hab steht noch man
> solle eine äquidistante Teilung des Intervalls benutzen.
> Könnte mir jemand kurz erklären was das genau bedeutet?
> Steh grad nen bisserl aufm Schlauch...
Nun, du sollst das Integral über die Ober- und Untersummen berechnen.
Dazu sollst du das Intervall $[-1,2]$ ist äquidistante (=gleichbreite) Teilintervalle aufteilen und die entsprechenden Rechtecksummen berechnen.
Noch ein Hinweis: Wnn du ein Intervall $[a,b]$ in n gleichbreite Teilintervalle aufteilen möchtest, so haben diese jeweils die Breite [mm] $\frac{b-a}{n}$
[/mm]
Du kannst es mal für n=3 zeichnen.
Wie lauten die Intervalle für allg. n?
> lg, chip
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ichh habe ![[]](/images/popup.gif) hier einen wunderbaren link gefunden, wo der Prozess sehr schön visualisiert wird.
Dort ist ein Applet, mit dem du dir das für deine Funktion und dein Intervall mit beliebiger Unterteilung zeichnen lassen kannst.
Zur Theorie steht dort auch etwas.
Schaue mal rein, wenn du magst.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 03.01.2010 | | Autor: | chipbit |
Vielen Dank schonmal, das hat schon sehr geholfen.
Also, für allgemein n würde ich sagen, lauten die Intervalle dann [mm] I_{k,n}=(\bruch{k+1}{n}, \bruch{k-2}{n})
[/mm]
Ich muss doch das "alte" Intervall da mit einbeziehen, oder?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank schonmal, das hat schon sehr geholfen.
> Also, für allgemein n würde ich sagen, lauten die
> Intervalle dann [mm]I_{k,n}=(\bruch{k+1}{n}, \bruch{k-2}{n})[/mm]
Hmm, die Intervallbreiten sind doch [mm] $\frac{2-(-1)}{n}=\frac{3}{n}$
[/mm]
Damit teilst du das Intervall $[-1,2]$ auf in
[mm] $\left[-1,-1+\frac{3}{n}\right], \left[-1+\frac{3}{n},-1+2\cdot{}\frac{3}{n}\right], \left[-1+2\cdot{}\frac{3}{n},-1+3\cdot{}\frac{3}{n}\right], [/mm] ..., [mm] \left[-1+(n-1)\cdot{}\frac{3}{n},-1+n\cdot{}\frac{3}{n}\right]$
[/mm]
Also [mm] $\left[-1,-1+\frac{3}{n}\right], \left[-1+\frac{3}{n},-1+\frac{6}{n}\right], \left[-1+\frac{6}{n},-1+\frac{9}{n}\right], [/mm] ..., [mm] \left[-1+\frac{3(n-1)}{n},2\right]$
[/mm]
Nun die Rechteckflächen für die Ober- und Untersummen berechnen, dann die Unterteilung bel. verfeinern, also den Grenzprozess [mm] $n\to\infty$ [/mm] durchführen.
Liefern Ober- und Untersumme denselben GW, so entspricht dieser dem gesuchten Flächeninhalt unter der Kurve von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] im Intervall $[-1,2]$
>
> Ich muss doch das "alte" Intervall da mit einbeziehen,
> oder?
Nur insoweit, dass die linke Grenze -1 auch die linke Grenze des ersten Teilintervalls ist und die rechte Grenze 2 entsprechend die rechte Grenze des letzten Teilintervalls ist.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Fr 29.01.2010 | | Autor: | chipbit |
Vielen Dank für die Hilfe, habe es dann noch hinbekommen. :)
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