Riemannsche Summen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Drechen |
| Aufgabe |
Eigentlich gibt es keine wirkliche Aufgabenstellung. Ich muss für ein Matheseminar in der Universität einen Vortrag über Riemannsche Summen vorbereiten.. eigentlich sicher ganz einfach, jedoch war ich vorher noch nicht damit vertraut und versuche jetzt mir das selbst zu erarbeiten.. ich studiere Lehramt Primarstufe - nicht, dass ihr euch wundert wie man studieren kann und solche Fragen stellt 
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Satz: Sei f: [a,b]→R eine Riemann-intergriebare Funktion. Dann existiert zu jedem ε>0 ein δ>0, sodass für jede Unterteilung a= [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < … < [mm] x_n [/mm] = b des Intervalls [a,b] der Feinheit [mm] μ(\IZ)≤δ [/mm] und jede Wahl [mm] \IZ [/mm] von Teilpunkten und Stützstellen gilt:
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x) dx}- S(\IZ,f)|≤ε
[/mm]
Der Satz sagt, dass die Riemannschen Summen einer integrierbaren Funktion gegen das Integral konvergieren, wenn die Feinheit der Unterteilungen gegen 0 konvergiert.
Beweis des Satzes:
Zum Beweis des Satzes benutzen wir folgenden Hilfssatz (Einschließung zwischen Treppenfunktionen):
Eine Funktion f:[a,b]→R ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn zu jedem ε>0 Treppenfunktionen [mm] \beta,\gamma \in [/mm] T[a,b] existieren mit
[mm] \beta \le [/mm] f [mm] \le \gamma [/mm] und
[mm] \integral_{a}^{b}{\gamma(x)dx}- \integral_{a}^{b}{\beta(x)dx} \le [/mm] ε.
Da wir in unserem Beweis von einer Riemann-integrierbaren Funktion ausgehen, kann dieser Hilfssatz angewandt werden und somit existieren dann zu ε>0 Treppenfunktionen [mm] \beta,\gamma \in [/mm] T[a,b] mit
[mm] \beta \le [/mm] f [mm] \le \gamma [/mm] und
[mm] \integral_{a}^{b}{(\gamma-\beta)(x)dx}\le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] .
Ich hoffe, dass man das jetzt alles erkennen kann und ich nichts falsch eingegeben habe! Eigentlich wäre das [mm] \beta [/mm] ein φ und das [mm] \gamma [/mm] ein ψ. Konnte das hier aber nicht so eingeben.. hoffe es ist alles verständlich!
Auf jeden Fall versteh ich ja den Hilfssatz und so.. aber nicht genau warum auf einmal in meinem Beispiel kleiner gleich [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] steht und nicht mehr nur [mm] \varepsilon. [/mm] Oder ist das einfach beliebig gewählt, weil [mm] \varepsilon [/mm] ja frei wählbar ist?
Über eine Antwort wäre ich wirklich sehr dankbar.
Andrea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Andrea!
> Eigentlich gibt es keine wirkliche Aufgabenstellung. Ich
> muss für ein Matheseminar in der Universität einen
> Vortrag über Riemannsche Summen vorbereiten.. eigentlich
> sicher ganz einfach, jedoch war ich vorher noch nicht damit
> vertraut und versuche jetzt mir das selbst zu erarbeiten..
> ich studiere Lehramt Primarstufe - nicht, dass ihr euch
> wundert wie man studieren kann und solche Fragen stellt
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Satz: Sei f: [a,b]→R eine Riemann-intergriebare
> Funktion. Dann existiert zu jedem ε>0 ein δ>0, sodass
> für jede Unterteilung a= [mm]x_0[/mm] < [mm]x_1[/mm] < … < [mm]x_n[/mm] = b des
> Intervalls [a,b] der Feinheit [mm]μ(\IZ)≤δ[/mm] und jede Wahl
> [mm]\IZ[/mm] von Teilpunkten und Stützstellen gilt:
> [mm]|\integral_{a}^{b}{f(x) dx}- S(\IZ,f)|≤ε[/mm]
Vorsicht! Wenn du Zeichen wie [mm] $\varepsilon$ [/mm] irgendwo anders her einfuegst, koennen sie gerade in Formeln kaputtgehen, wie hier. Bitte benutz doch den Formeleditor unten dafuer, da hast du auch [mm] $\varepsilon$ [/mm] zur Verfuegung.
> Der Satz sagt,
> dass die Riemannschen Summen einer integrierbaren Funktion
> gegen das Integral konvergieren, wenn die Feinheit der
> Unterteilungen gegen 0 konvergiert.
>
> Beweis des Satzes:
> Zum Beweis des Satzes benutzen wir folgenden Hilfssatz
> (Einschließung zwischen Treppenfunktionen):
> Eine Funktion f:[a,b]→R ist genau dann
> Riemann-integrierbar, wenn zu jedem ε>0 Treppenfunktionen
> [mm]\beta,\gamma \in[/mm] T[a,b] existieren mit
> [mm] \beta \le[/mm] f [mm]\le \gamma[/mm] und
> [mm]\integral_{a}^{b}{\gamma(x)dx}- \integral_{a}^{b}{\beta(x)dx} \le[/mm]
> ε.
> Da wir in unserem Beweis von einer Riemann-integrierbaren
> Funktion ausgehen, kann dieser Hilfssatz angewandt werden
> und somit existieren dann zu ε>0 Treppenfunktionen
> [mm]\beta,\gamma \in[/mm] T[a,b] mit
> [mm]\beta \le[/mm] f [mm]\le \gamma[/mm] und
> [mm]\integral_{a}^{b}{(\gamma-\beta)(x)dx}\le \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> .
>
> Ich hoffe, dass man das jetzt alles erkennen kann und ich
> nichts falsch eingegeben habe! Eigentlich wäre das [mm]\beta[/mm]
> ein φ und das [mm]\gamma[/mm] ein ψ. Konnte das hier aber nicht
> so eingeben.. hoffe es ist alles verständlich!
Ist es.
> Auf jeden Fall versteh ich ja den Hilfssatz und so.. aber
> nicht genau warum auf einmal in meinem Beispiel kleiner
> gleich [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] steht und nicht mehr nur
> [mm]\varepsilon.[/mm] Oder ist das einfach beliebig gewählt, weil
> [mm]\varepsilon[/mm] ja frei wählbar ist?
Nun, da [mm] $\varepsilon$ [/mm] frei waehlbar ist kannst du auch [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] nehmen. Man waehlt das [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] weil [mm] $\varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon$ [/mm] ist: in dem Beweis werden vermutlich zwei Teile abgeschaetzt, jeweils durch [mm] $\varepsilon/2$, [/mm] und wenn man sie zusammenaddiet kommt das raus was man haben will (bzw. das was man haben will kann man durch die Summe der beiden abschaetzen) und man hat es somit mit [mm] $\varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon$ [/mm] abgeschaetzt, was man schliesslich auch haben will.
Vielleicht noch ein allgemeines Beispiel: du willst $|A - B| [mm] \le \varepsilon$ [/mm] zeigen. Du kannst nun irgendwie ein $C$ finden mit $|A - C| [mm] \le \varepsilon/2$ [/mm] und $|B - C| [mm] \le \varepsilon/2$. [/mm] Damit ist $|A - B| = |A - C + C - B| [mm] \le [/mm] |A - C| + |B - C| [mm] \le \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 18.10.2009 | | Autor: | Drechen |
Hallo Felix!
Okay - das ist verständlich!
Ich danke dir für deine schnelle Erklärung.
Natürlich werd ich den Formeleditor benutzen, tut mir leid, dass ich das [mm] \varepsilon [/mm] nicht aus dem Formeleditor genommen habe 
Liebe Grüße
Andrea
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