Riemannsche Zetafunktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Irgendwie stelle ich mich glaub ich ganz schön blöd an, aber ich hab da eine Frage:
Die Riemannsche Zetafunktion ist ja für Re(s)>1 definiert durch [mm] \zeta(s)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}=\produkt_{p} \bruch{1}{1-p^{-s}}.
[/mm]
Ich beschäftige mich mit den Nullstellen der Funktion für Re(s)>1. Warum steht in jedem Buch, dass man [mm] \zeta(s) \not= [/mm] 0 aus der Eulerproduktentwicklung folgert??? Ich kann doch auch argumentieren, dass n [mm] \in \IN [/mm] ist und deshalb jeder Summand nie 0 für Re(s)>1 wird, oder? Wo liegt denn mein Denkfehler?
Vielen Dank schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 26.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Irgendwie stelle ich mich glaub ich ganz schön blöd an,
> aber ich hab da eine Frage:
> Die Riemannsche Zetafunktion ist ja für Re(s)>1 definiert
> durch [mm]\zeta(s)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}=\produkt_{p} \bruch{1}{1-p^{-s}}.[/mm]
>
> Ich beschäftige mich mit den Nullstellen der Funktion für
> Re(s)>1. Warum steht in jedem Buch, dass man [mm]\zeta(s) \not=[/mm]
> 0 aus der Eulerproduktentwicklung folgert??? Ich kann doch
> auch argumentieren, dass n [mm]\in \IN[/mm] ist und deshalb jeder
> Summand nie 0 für Re(s)>1 wird, oder? Wo liegt denn mein
> Denkfehler?
Nun, fuer reelle Funktionswerte $s > 1$ sieht man natuerlich, dass [mm] $n^{-s} [/mm] > 0$ ist und somit auch die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ [/mm] nicht 0 sein kann.
Ist allerdings [mm] $\Im [/mm] s [mm] \neq [/mm] 0$, so ist das alles andere als klar. Die Summanden [mm] $n^{-s}$ [/mm] sind dann im allgemeinen irgendwelche komplexen Zahlen, und es gibt erstmal keinen Grund warum sie sich nicht alle zu 0 summieren sollten.
LG Felix
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Ok, kapiert. VIELEN VIELEN DANK!!!
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