Riemannsche funkt. doppelreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Fr 30.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Die Riemannsche [mm] \zeta [/mm] - Funktion ist für s > 1 definiert durch [mm] \zeta [/mm] (s) := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/(n^{s}). [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\zeta [/mm] (k)-1) =1 |
Also mein erster Ansatz ist es erst einmal aus
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(1/n^{2}) [/mm] -1)=1
Wenn ich jetzt bei der zweiten Summe eine Indexverschiebung vornehme, erhalte ich die Doppelreihe
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=2}^{\infty})=1,
[/mm]
da für n=1 die Summe 1 ergibt und 1-1= 0 folgt.
Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich dies zeigen soll, da wir noch nicht mit doppelreihen gearbeitet haben.
Ich hoffe auf Anregungen oder Rechenregeln,
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Sa 01.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Riemannsche [mm]\zeta[/mm] - Funktion ist für s > 1 definiert
> durch [mm]\zeta[/mm] (s) := [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/(n^{s}).[/mm] Zeigen
> Sie:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(\zeta[/mm] (k)-1) =1
Soll da nicht stehen: [mm] $\summe_{k=2}^{\infty}(\zeta(k)-1) [/mm] =1$ ?
> Also mein erster Ansatz ist es erst einmal aus
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(1/n^{2})[/mm] -1)=1
Das ist doch Unsinn. Du schreibst:
[mm] $\summe_{k=2}^{\infty}(\zeta(2) [/mm] -1)=1$
Siehst Du den Unsinn ?
>
> Wenn ich jetzt bei der zweiten Summe eine Indexverschiebung
> vornehme, erhalte ich die Doppelreihe
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=2}^{\infty})=1,[/mm]
> da für n=1 die Summe 1 ergibt und 1-1= 0 folgt.
Auch das ist Unsinn. Ich kann Dir nicht folgen.
FRED
>
> Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich dies zeigen
> soll, da wir noch nicht mit doppelreihen gearbeitet haben.
>
> Ich hoffe auf Anregungen oder Rechenregeln,
>
> mfg,
>
> zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Sa 01.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \zeta(k)-1=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^k} [/mm] also
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\left[\zeta(k)-1\right]=\summe_{k=2}^{\infty}\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^k}
[/mm]
Jetzt die Summen vertauschen, Formel für die geometrische Reihe anwenden und die entstehende Teleskopsumme berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 02.12.2012 | | Autor: | zjay |
Habe ich euch richtig verstanden, dass gilt:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\frac{1}{n^{k}} [/mm]
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\frac{1}{n^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{n})^{k}=\frac{1}{1-n}
[/mm]
Und als nächstes muss dann [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n} [/mm] berechnet werden?
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n} [/mm] = -1 -1/2 -1/3 - ... -1/(1-n) + 1/(n)*+1/(n+1) + ....
*[dies ist gleich -1/(1-(n+1)=-1/-n=1/n]
irgendwas mache ich da gerad falsch, oder? Muss ich für Teleskopsummen nicht festlegen, dass das ganze nur bis zum m-ten Glied mit m > n addiert wird?
mfg,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 02.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Habe ich euch richtig verstanden, dass gilt:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{n})^{k}=\frac{1}{1-n}[/mm]
Nein, es gilt
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}=\bruch{1}{1-\bruch{1}{n}}-1-\bruch{1}{n}
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 03.12.2012 | | Autor: | zjay |
Hi,
>
> Nein, es gilt
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}=\bruch{1}{1-\bruch{1}{n}}-1-\bruch{1}{n}[/mm]
>
>
Kommt die 1 von [mm] (1/n)^{0} [/mm] und 1/n von [mm] (1/n)^{1}?
[/mm]
mfg zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> >
> > Nein, es gilt
> >
> >
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}=\bruch{1}{1-\bruch{1}{n}}-1-\bruch{1}{n}[/mm]
> >
> >
>
> Kommt die 1 von [mm](1/n)^{0}[/mm] und 1/n von [mm](1/n)^{1}?[/mm]
ja
FRED
>
> mfg zjay
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