Ring faktoriell? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 So 27.11.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo, alle zusammen!
Ich habe die Aufgabe, dass ich zeigen soll, ob [mm] R=\IZ[\wurzel{10}] [/mm] faktoriell ist, wobei ich der Meinung bin, dass das nicht der Fall ist. Dann muss ich doch also ein Element finden, das keine Einheit ist und das nicht eindeutig zerlegbar ist. Soweit so gut. Ich dachte, mit der 15 könnte es klappen, wenn ich mir die Faktoren 3*5 bzw. [mm] (5+\wurzel{10})*(5-\wurzel{10}) [/mm] anschaue. Dummerweise fehlt mir allerdings die Übung (und die Idee... es ist schon spät;)), um zu zeigen, dass diese Elemente a) alle keine Einheiten, dafür aber b) irreduzibel sind. Dass sie alle nicht assoziiert sind, das schaffe sogar ich, aber bei dem anderen haperts. Oder bin ich etwa noch nicht einmal auf dem richtigen Weg?
Schon mal im Voraus danke für eure Antworten,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 So 27.11.2005 | | Autor: | felixf |
Ooops, da hab ich mich ja ziemlich verrechnet :-/ Natuerlich ist [mm](a,b)(c,d) = ac+10bd + \sqrt{10}(b c + a d)[/mm] und nicht [mm]... + \sqrt{10}(b + d)[/mm]. Damit wird das dann allerdings zu kompliziert, mit der Norm (aus Leopolds Posting) geht das wesentlich besser.
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Hier noch mein altes Posting, falls es aus was fuer Gruenden auch immer noch jemanden interessiert...
> Hallo, alle zusammen!
> Ich habe die Aufgabe, dass ich zeigen soll, ob
> [mm]R=\IZ[\wurzel{10}][/mm] faktoriell ist, wobei ich der Meinung
> [...]
> spät;)), um zu zeigen, dass diese Elemente a) alle keine
> Einheiten, dafür aber b) irreduzibel sind. Dass sie alle
> nicht assoziiert sind, das schaffe sogar ich, aber bei dem
> anderen haperts. Oder bin ich etwa noch nicht einmal auf
> dem richtigen Weg?
Ich kann dir zumindest bei dem Problem weiterhelfen, ob ein Element eine Einheit ist oder nicht. Du kannst ja jedes Element als [mm]a+\sqrt{10}b[/mm] darstellen (ich schreib von nun an (a, b) dafuer). Wenn (a,b) jetzt eine Einheit ist, so gibt es ein (c,d) mit [mm](a,b)(c,d) = ac+10bd + \sqrt{10}(b + d) = 1[/mm], womit [mm]ac+10bd=1[/mm] und [mm]b+d=0[/mm] sein muss. Damit ist d eindeutig durch b bestimmt, und du erhaelst eine Gleichung, die a, b und c enthaelt. Du kannst schnell sehen, dass diese Gleichung nur dann erfuellt werden kann, wenn a nicht 0 ist. Und wenn a nicht 0 ist, so muss [mm]c = \frac{1+10b^2}{a}[/mm] sein. Damit ist ein Paar (a, b) genau dann eine Einheit, wenn a ungleich 0 ist und a ein Teiler von [mm] 1+10b^2 [/mm] ist.
Ob du mit dieser Methode auch die Unzerlegbarkeit angreifen kannst weiss ich nicht, scheint zumindest nicht so einfach zu sein...
HTH,
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 27.11.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank, erst mal.
So ähnlich habe ich das sogar auch gemacht, dummerweise ist bei mir für (a,b)(c,d) bloß nicht [mm] ac+10bd+(b+d)\wurzel{10} [/mm] sondern [mm] ac+10bd+(bc+ad)\wurzel{10} [/mm] rausgekommen. Und dann wirds wieder komplizierter. Außerdem bin ich mir nicht sicher, dass ich annehmen darf, dass [mm] a\not=0 [/mm] ist. Oder doch? oBdA, weil ja [mm] (a,b)\not=0???
[/mm]
Ansonsten bin ich beim Beweis der Irreduzibilität immer noch keinen SChritt weiter:( ... und ob ich im allgemeinen auf dem richtigen weg bin weiß ich auch nicht.
Würde mich über weitere Antworten freuen,
Gruß, San
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[mm]+ \ldots \sqrt{10}(ad + bc) = 1[/mm]
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In solchen Fällen hilft die Norm [mm]N[/mm]. Sie ist für [mm]x = a + b \sqrt{10}[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb{Z}[/mm] definiert durch [mm]N(x) = a^2 - 10b^2[/mm]. Und entscheidend hier ist die Verträglichkeit von [mm]N[/mm] mit der Multiplikation:
[mm]N(xy) = N(x) \, N(y)[/mm] für alle [mm]x,y \in \mathbb{Z}[\sqrt{10}][/mm]
Diese Regel kann direkt mit der Definition bewiesen werden.
Mit Hilfe der Norm kann leicht ein Kriterium angegeben werden, ob [mm]x \in \mathbb{Z}[\sqrt{10}][/mm] eine Einheit ist. Das ist nämlich dann und nur dann der Fall, wenn [mm]N(x) = \pm 1[/mm] gilt (warum?).
Und eine Zerlegung [mm]z=xy[/mm] in [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{10}][/mm] zieht sofort eine Zerlegung in [mm]\mathbb{Z}[/mm] nach sich: [mm]N(z) = N(x) \, N(y)[/mm].
Wäre nun 3 zerlegbar, so existierten [mm]x,y \in \mathbb{Z}[\sqrt{10}][/mm] mit [mm]xy = 3[/mm], wobei weder [mm]x[/mm] noch [mm]y[/mm] eine Einheit wäre. Es ergäbe sich hieraus:
[mm]N(x) \, N(y) = 9[/mm]
Und da hier nach Voraussetzung [mm]N(x) \neq \pm 1, \ N(y) \neq \pm 1[/mm] wäre, würde entweder [mm]N(x) = N(y) = 3[/mm] oder [mm]N(x) = N(y) = -3[/mm] folgen. Jetzt kann man aber zeigen, daß es keine [mm]a,b \in \mathbb{Z}[/mm] mit [mm]a^2 = 10b^2 \pm 3[/mm] gibt (Tip: eine Quadratzahl kann im Dezimalsystem niemals auf 2,3,7,8 enden, wie man sofort dem Verfahren des schriftlichen Multiplizierens aus der Grundschule entnehmen kann). Somit ist 3 doch nicht zerlegbar in [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{10}][/mm].
Und jetzt kannst du einmal selbst überlegen, wie das dann mit [mm]5, 5 + \sqrt{10}, 5 - \sqrt{10}[/mm] geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 So 27.11.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen, vielen Dank, habe jetzt endlich einen Fuß drin... einige nebenbeweise, weil wir die Sätze nicht hatten, aber vom prinzip her... sollte alles klappen.
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