Ring mit 6 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo an alle, ich ein Problem unzwar soll ich zeigen,
dass es bis auf Isomorphie genau einen Ring [mm] R_{6} [/mm] (mit Einselement) mit 6 Elementen gibt.
Wie kann ich dass machen? Ich hab mir jetzt mal ne Gruppentafel für die Addition mit den Elementen 0,1,a,b,c,d aufgestellt und dann nochmal eine solche für die Multiplikation aber wie kann ich zeigen,dass es genau nur eine davon gibt und die Isomorphie quasie ausnehmen?
Danke euch schonmal im Vorraus.
Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 So 07.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Toyo,
> dass es bis auf Isomorphie genau einen Ring [mm]R_{6}[/mm] (mit
> Einselement) mit 6 Elementen gibt.
>
> Wie kann ich dass machen? Ich hab mir jetzt mal ne
> Gruppentafel für die Addition mit den Elementen 0,1,a,b,c,d
> aufgestellt und dann nochmal eine solche für die
> Multiplikation aber wie kann ich zeigen,dass es genau nur
> eine davon gibt und die Isomorphie quasie ausnehmen?
Beim Aufstellen der Gruppentafeln mußt du für jeden Eintrag argumentieren, dass du nur eine einzige Wahl hattest.
Dann wärst du auch schon fertig, denn dann gibt es bis auf einen Ring, der isomorph auf deinen Ring abgebildet werden kann, nur einen einzigen Ring.
Isomorph heißt eben: Die Elemente des Ringes können anders bezeichnet sein, die Verknüpfungsstruktur zwischen den Elementen ist aber eindeutig.
Wenn du magst, kannst du uns ja mal deine Verknüpfungstafeln vorstellen, inklusive der Begründungen für jedes Element.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 07.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi, ich bins nochmal
also meine Additive Gruppentafel sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 5 &0 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 0 &1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 }
[/mm]
Ich konnte leider nicht zeigen,dass sie nur genauso aussehen kann, wenn
[mm] M={0,1,2,3,4,5) (M, + ) [/mm] abelsche Gruppe sein soll.
Weil ich 1+1=2 und 1+2=3 Setzen musste und bei diesen beiden Mehrere Möglichkeiten ein Ergebniss für diese Ausdrücke zu wählen.
Wie kann ich zeigen,dass es 1+1=2 sein muss und ich keine wahl hab?
geht das überhaupt?
Oder kann ich die Aufgabe vielleicht noch anders lösen?
Danke für eure Hilfe. Gruß Toyo
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Genau das ist gemeint mit "bis auf Isomorphie"
Dabei ist es egal, ob du das Element 1+1 nun gerade 2 nennst, "a" oder vielleicht sogar 4. Wichtig daran ist nur, dass es ein zusätzliches Element ist, dass von 1 und 0 gerade verschieden ist.
Zu zeigen ist in dem Fall nur, dass nicht 1+1=1 oder 1+1=0 gelten kann.
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