Ringautom. Polynomring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei R integer und [mm] $\phi: [/mm] R[X] [mm] \to [/mm] R[X]$ ein Ringhomomorphismus mit [mm] $\phi{|}_R [/mm] = [mm] id_R$.
[/mm]
Man zeige: [mm] $\phi$ [/mm] ist genau dann ein Automorphismus, wenn es $a [mm] \in [/mm] R*$ und $b [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $\phi(X) [/mm] = aX+b$. |
Hallo,
mir ist es gelungen die Rückrichtung der Behauptung zu zeigen, indem ich [mm] $\phi^{-1}(X)=\frac{1}{a}X+\frac{b}{a}$ [/mm] angenommen habe und gezeigt habe, dass dies die wohledefinierte Inverse zu [mm] $\phi$ [/mm] ist.
Für die andere Richtung fehlt mit leider jeder Ansatz. Kann mir hier jemand mit einem Tipp weiterhelfen?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße und guten Rutsch, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Fr 31.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R integer und [mm]\phi: R[X] \to R[X][/mm] ein
> Ringhomomorphismus mit [mm]\phi{|}_R = id_R[/mm].
> Man zeige: [mm]\phi[/mm]
> ist genau dann ein Automorphismus, wenn es [mm]a \in R*[/mm] und [mm]b \in R[/mm]
> mit [mm]\phi(X) = aX+b[/mm].
>
> mir ist es gelungen die Rückrichtung der Behauptung zu
> zeigen, indem ich [mm]\phi^{-1}(X)=\frac{1}{a}X+\frac{b}{a}[/mm]
> angenommen habe und gezeigt habe, dass dies die
> wohledefinierte Inverse zu [mm]\phi[/mm] ist.
> Für die andere Richtung fehlt mit leider jeder Ansatz.
> Kann mir hier jemand mit einem Tipp weiterhelfen?
Angenommen, [mm] $\phi$ [/mm] ist ein Automorphismus. Dann ist es insbesondere surjektiv. Wegen der Integritaet gilt [mm] $\deg \phi(f) [/mm] = [mm] \deg [/mm] f [mm] \cdot \deg \phi(X)$ [/mm] fuer alle $f [mm] \in [/mm] R[X]$; da [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist, muss [mm] $\deg \phi(X) [/mm] = 1$ sein, ansonsten werden z.B. keine Polynome von Grad 1 getroffen.
Also ist [mm] $\phi(X) [/mm] = a X + b$ mit $a, b [mm] \in [/mm] R$. Jetzt beachte, dass $1 [mm] \cdot [/mm] X$ im Bild liegt: es gibt also ein $f [mm] \in [/mm] R[X]$ mit [mm] $\phi(f) [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] X$. Wegen der Formel oben muss [mm] $\deg [/mm] f [mm] \le [/mm] 1$ sein, womit du $f = c X + d$ schreiben kannst. Dann ist $1 [mm] \cdot [/mm] X + 0 = [mm] \phi(f) [/mm] = c (a X + b) + d = a c X + b c + d$. Also...?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Angenommen, [mm]\phi[/mm] ist ein Automorphismus. Dann ist es
> insbesondere surjektiv. Wegen der Integritaet gilt [mm]\deg \phi(f) = \deg f \cdot \deg \phi(X)[/mm]
> fuer alle [mm]f \in R[X][/mm]; da [mm]\phi[/mm] surjektiv ist, muss [mm]\deg \phi(X) = 1[/mm]
> sein, ansonsten werden z.B. keine Polynome von Grad 1
> getroffen.
>
> Also ist [mm]\phi(X) = a X + b[/mm] mit [mm]a, b \in R[/mm]. Jetzt beachte,
> dass [mm]1 \cdot X[/mm] im Bild liegt: es gibt also ein [mm]f \in R[X][/mm]
> mit [mm]\phi(f) = 1 \cdot X[/mm]. Wegen der Formel oben muss [mm]\deg f \le 1[/mm]
> sein, womit du [mm]f = c X + d[/mm] schreiben kannst. Dann ist [mm]1 \cdot X + 0 = \phi(f) = c (a X + b) + d = a c X + b c + d[/mm].
> Also...?
... also ist $ac=1$ und damit $a [mm] \in R^{\times}$.
[/mm]
Vielen Dank Felix.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:51 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Also ist [mm]\phi(X) = a X + b[/mm] mit [mm]a, b \in R[/mm]. Jetzt beachte,
> > dass [mm]1 \cdot X[/mm] im Bild liegt: es gibt also ein [mm]f \in R[X][/mm]
> > mit [mm]\phi(f) = 1 \cdot X[/mm]. Wegen der Formel oben muss [mm]\deg f \le 1[/mm]
> > sein, womit du [mm]f = c X + d[/mm] schreiben kannst. Dann ist [mm]1 \cdot X + 0 = \phi(f) = c (a X + b) + d = a c X + b c + d[/mm].
> > Also...?
>
> ... also ist [mm]ac=1[/mm] und damit [mm]a \in R^{\times}[/mm].
genau :)
> Vielen Dank Felix.
Bitte!
LG Felix
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