Ringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo,
ich habe das Problem, dass ich zeigen muss, dass [mm] 2,3,1+\wurzel{-5},1-\wurzel{-5}
[/mm]
in dem Ring [mm] \IZ[\wurzel{-5}]= \{a+b\wurzel{-5}| a,b\in\IZ \} [/mm] irreduzibel sind. Ich muss ja zeigen, dass sich die Zahlen nicht als Produkte von Nichteinheiten schreiben lassen, aber wie mache ich das? Die einzigen Einheiten sind doch 1 und -1, oder? Würd mich über jede Hilfe freuen. Gruß, Jan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jan!
Du solltest hier über die Norm argumentieren.
Ich zeige mal für dich, dass [mm] $1+\sqrt{-5}$ [/mm] irredizibel ist.
Zunächst einmal gilt:
[mm] $N(1+\sqrt{-5}) =(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) [/mm] = 1-(-5) = 6$.
Wäre nun [mm] $1+\sqrt{-5}$ [/mm] reduzibel, so müsste es Nichteinheiten $a,b [mm] \in \IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] geben mit
$1+ [mm] \sqrt{-5} [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] b$
und
$N(a)>1$ und $N(b)>1$ (denn $a$ und $b$ sind Nichteinheiten).
Es müsste also wegen
$N(a) [mm] \cdot [/mm] N(b) = N(ab) =6$
oBdA
$N(a)=2$ und $N(b)=3$
gelten. Sei [mm] $a=a_1+a_2\sqrt{-5}$. [/mm] Dann gilt:
$N(a) = [mm] a_1^2 +5a_2^2$.
[/mm]
Die Gleichung
[mm] $a_1^2+5a_2^2 [/mm] = 2$
ist aber in [mm] $\IZ \times \IZ$ [/mm] nicht lösbar, Widerspruch.
Ähnlich argumentierst du mit den anderen Zahlen.
Der Witz in diesem Ring ist der folgende: Es gibt Elemente, die irreduzibel sind, aber nicht prim, etwa [mm] $1+\sqrt{-5}$. [/mm] Dieses Element ist nicht prim, denn es gilt:
$(1+ [mm] \sqrt{-5})\, \vert \, [/mm] (2 [mm] \cdot [/mm] 3)$,
aber [mm] $(1+\sqrt{-5})\, \not\vert\, [/mm] 2$ und [mm] $(1+\sqrt{-5})\, \not\vert\, [/mm] 3$.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
