Ringe & Ideal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 11.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Beweisen Sie:
(a) Ein Ring (kommutativ mit 1) (R,+,⋅) ist genau dann ein Körper, wenn er genau zwei Ideale enthält.
(b) Ein Homomorphismus :f K→L zwischen Körpern (K, +1 , ⋅1) und (L,+2 , ⋅2) ist immer injektiv.
Also ich hab bei beiden Aufgaben nicht die geringste Ahnung wie ich das ganze angehen soll. Zu (a) weiss ich nicht ob ich von der Definitin von einem Ideal ausgehen soll, oder von der vom Körper...
Zu b weiss ich desweiteren nicht welche Definition ich für die Invektivität benutzen soll. Die f(x1) = f(x2) => x1=x2, oder eher die vom Urbild | [mm] f^{-1}({\{y\}}) [/mm] <= 1 |
Können sie mir vieleicht einen Lösungsansatz oder ein paar Tips geben wie ich das ganze angehen soll.
Vielen Dank
MfG
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Di 11.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Beweisen Sie:
> (a) Ein Ring (kommutativ mit 1) (R,+,⋅) ist genau
> dann ein Körper, wenn er genau zwei Ideale enthält.
Du musst beide Richtungen zeigen. Wieso hat ein Körper 2 Ideale? Welche sind immer drin? Wenn es das eine nicht ist, warum das andere? Und dazu: man kann Ideale erzeugen, dh: nimm eine Menge, oder einzelne Elemente, aus R und nimm das kleinste Ideal, dass dies enthält. (Für die Rückrichtung.)
Aber eigentlich eine sehr schöne Aufgabe ... man kann das auf nicht kommutative Ringe erweitern:gdw. Links und Rechtsideale jeweils nur 2 gibt, dann ist R ein Schiefkörper. (Falls ich mich jetzt nicht sehr täusche ...)
> (b) Ein Homomorphismus :f K→L zwischen Körpern (K, +1
> , ⋅1) und (L,+2 , ⋅2) ist immer injektiv.
f injektiv gdw. [mm]\mbox{Kern}(f)=\{0\}[/mm] und[mm]f(1)=1[/mm].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 12.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hmm vielen Dank für die Aufgabe
Ich habe das ganze jetzt versucht aber komme irgendwie nicht weiter
mit der Bestimmung der Ideale. Wieso immer 2? wegen der kommutativität, oder den links rechts Elementen oder schmeiss ich jetzt alles durcheinander?
Dann weiss ich auch mit dem Kern nicht so genau was läuft. Wie kann ich das formell anschreiben?
vielen dank für eure Hilfe
MfG
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mi 12.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo.
> Hmm vielen Dank für die Aufgabe
antwort, oder?
> Ich habe das ganze jetzt versucht aber komme irgendwie
> nicht weiter
> mit der Bestimmung der Ideale. Wieso immer 2? wegen der
> kommutativität, oder den links rechts Elementen oder
> schmeiss ich jetzt alles durcheinander?
alos erstmal, gilt
[m] \begin{array} \mathfrak{a} \subset R \textrm{ ist ein ideal } \\ \Longleftrightarrow \\ (1) \; \mathfrak{a} \textrm{ ist additive gruppe} \\ (2) \; \forall \, r \in R \; \forall \, a \in \mathfrak{a} : ra \in \mathfrak{a} \end{array} [/m],
es handelt sich also um eine additive untergruppe und sobald ein faktor eines produktes im ideal liegt, liegt das produkt im ideal. (z.b. [m] 2 \mathbb{Z}, 9\mathbb{Z} [/m] in [m] R = \matrhbb{Z} [/m]).
überlege dir zuerstmal, dass das nullideal, d.h. [m] \mathfrak{a} = \{0\} [/m] tatsächlich in jedem ring ein ideal ist. außerdem gilt, sobald die $1$ in einem ideal enthalten ist, ist das ideal der ganze ring. überlege dir nun, dass in einem körper ein ideal, das ein von null verschiedenes element enthält auch die $1$ enthält (das hat was mir invertierbarkeit zu tun ...).
wenn nun der ring nur die oben ermittelten zwei ideale hat, betrachte das von einem beliebigen element das nicht null ist erzeugte ideal. welche gestalt hat dies? warum folgt daraus die invertierbrakeit?
> Dann weiss ich auch mit dem Kern nicht so genau was läuft.
zu der zweiten aufgabe: beweise, dass der kern stets ein ideal ist und verwende, dass es in körpern nur die beiden oben gefundenen ideale gibt.
grüße
andreas
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