Ringe und Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mo 19.11.2007 | | Autor: | then3210 |
| Aufgabe | A1: Sei (R,+, * ,0,1) ein kommutativer Ring mit Eins.
a)ZZ: für alle [mm] \lambda \in [/mm] R gelten -(- [mm] \lambda [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] und (-1) * (-1) = 1.
b)ZZ: es gilt ( [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) * ( [mm] \lambda [/mm] + (- [mm] \mu [/mm] )) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] + (- [mm] \mu [/mm] * [mm] \mu [/mm] ). Begründen Sie ihre Schritte.
A2: Betrachten Sie [mm] \IQ \times \IQ [/mm] mit Verknüpfungen: [mm] (a,b)\oplus [/mm] (c,d) := (a+b,c+d) und (a,b) [mm] \otimes [/mm] (c,d) := (ac,bc + ad).
a)Neutrale Elemente und Begründung.
b)Körper?
A3: Sei m [mm] \not= [/mm] 0 eine natürliche Zahl und [mm] \IZ [/mm] m = {0,...,m-1}.
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [n] der Rest der Division von n durch m.
a) ZZ: [ [a]+[b] ] = [a+b]
Für a,b [mm] \in \IZ [/mm] a [mm] \oplus [/mm] b :=[a+b] , a [mm] \otimes [/mm] b := [a * b]
b) Fertigen sie Tafeln für [mm] \IZ [/mm] 6 mit dem beiden Operationen an.
c) In [mm] \IZ [/mm] 6 gilt das KG. Wie sieht man dies an den Tafeln?
d) Gibt es für alle a [mm] \in \IZ \{0} [/mm] ein b [mm] \in \IZ \{0}, [/mm] so dass a [mm] \otimes [/mm] b = 1 ?
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Bei A1 finde ich keinen Ansatz.
A2:
a)
(i) (0,0) Begründung: 0 neutrales Element Addition.
(ii) (1,0) Begründung: 1 neutrales Element Multiplikation, 0 neutrales Element Addition.
b) Ist es ein Körper? Nein, da (0,0) [mm] \not= [/mm] (1,0) ?
A3:
a) muß ich doch Zeigen, das (a mod m + b mod m)mod m = (a+b)mod m oder?
b)
[mm] \oplus [/mm] 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
[mm] \otimes [/mm] 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
c) Kommutativ, da symmetrisch zur Diagonalen in den Tafeln von links oben nach rechts unten.
d) ?????
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> A1: Sei (R,+, * ,0,1) ein kommutativer Ring mit Eins.
> a)ZZ: für alle [mm]\lambda \in[/mm] R gelten -(- [mm]\lambda[/mm] ) =
> [mm]\lambda[/mm] und (-1) * (-1) = 1.
> b)ZZ: es gilt ( [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) * ( [mm]\lambda[/mm] + (- [mm]\mu[/mm]
> )) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] + (- [mm]\mu[/mm] * [mm]\mu[/mm] ). Begründen Sie ihre
> Schritte.
>
> A2: Betrachten Sie [mm]\IQ \times \IQ[/mm] mit Verknüpfungen:
> [mm](a,b)\oplus[/mm] (c,d) := (a+b,c+d) und (a,b) [mm]\otimes[/mm] (c,d) :=
> (ac,bc + ad).
> a)Neutrale Elemente und Begründung.
> b)Körper?
>
> A3: Sei m [mm]\not=[/mm] 0 eine natürliche Zahl und [mm]\IZ[/mm] m =
> {0,...,m-1}.
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [n] der Rest der Division von n
> durch m.
> a) ZZ: [ [a]+[b] ] = [a+b]
>
> Für a,b [mm]\in \IZ[/mm] a [mm]\oplus[/mm] b :=[a+b] , a [mm]\otimes[/mm] b := [a *
> b]
> b) Fertigen sie Tafeln für [mm]\IZ[/mm] 6 mit dem beiden
> Operationen an.
> c) In [mm]\IZ[/mm] 6 gilt das KG. Wie sieht man dies an den
> Tafeln?
> d) Gibt es für alle a [mm]\in \IZ \{0}[/mm] ein b [mm]\in \IZ \{0},[/mm]
> so dass a [mm]\otimes[/mm] b = 1 ?
>
>
>
>
> Bei A1 finde ich keinen Ansatz.
Hallo,
hier kannst Du starten mit
Sei [mm] \lambda \in [/mm] R.
Es ist [mm] 0=\lambda+(-\lambda]
[/mm]
Dann scharf nachdenken.
>
> A2:
> a)
> (i) (0,0) Begründung: 0 neutrales Element Addition.
Die Begründung ist dürftig.
Du mußt das vorrechnen.
> (ii) (1,0) Begründung: 1 neutrales Element Multiplikation,
> 0 neutrales Element Addition.
s.o.
>
> b) Ist es ein Körper? Nein, da (0,0) [mm]\not=[/mm] (1,0) ?
Das, was Du da schreibst, daß nämlich die Eins ungleich der Null ist, ist in Körpern i.a. der Fall.
Wenn Du zeigen willst, daß es ein Körper ist, mußt Du alle Axiome nachweisen.
Wenn Du zeigen willst, daß es kein Körper ist, mußt Du ein Axiom finden, welches verletzt wird.
>
> A3:
> a) muß ich doch Zeigen, das (a mod m + b mod m)mod m =
> (a+b)mod m oder?
Es ist zwar irgendwie komisch aufgeschrieben, aber Du willst das Richtige zeigen, daß nämlich der Rest der Summe der Reste v. a und b gleich dem Rest v. a+b ist.
>
> b)
> [mm]\oplus[/mm] 0 1 2 3 4 5
> 0 0 1 2 3 4 5
> 1 1 2 3 4 5 0
> 2 2 3 4 5 0 1
> 3 3 4 5 0 1 2
> 4 4 5 0 1 2 3
> 5 5 0 1 2 3 4
>
> [mm]\otimes[/mm] 0 1 2 3 4 5
> 0 0 0 0 0 0 0
> 1 0 1 2 3 4 5
> 2 0 2 4 0 2 4
> 3 0 3 0 3 0 3
> 4 0 4 2 0 4 2
> 5 0 5 4 3 2 1
>
> c) Kommutativ, da symmetrisch zur Diagonalen in den Tafeln
> von links oben nach rechts unten.
Ja.
>
> d) ?????
Da brauchst Du doch nur in der Tabelle zu gucken.
Gibt es für jedes v. der Null verschiedene Element eins, was Du damit multiplizieren kannst so, daß 1 herauskommt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 19.11.2007 | | Autor: | then3210 |
A3:
a)
[ [a]+[b]] = [a+b]
[mm] \gdw[a]+[b] \equiv [/mm] a+b mod m
[a]+[b] [mm] \equiv [/mm] a+b mod m stimmt wenn: a+b - (a mod m + b mod m) durch m teilbar ist.
a+b - (a mod m + b mod m)
[mm] \gdw [/mm] a + b - a mod m - b mod m
[mm] \gdw [/mm] (a - a mod m) + (b - b mod m)
Da (a - a mod m) und (b - b mod m) sicherlich duch m teilbar sind ist auch die Summe duch m teilbar und folglich stimmt:
[ [a]+[b]] = [a+b]
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> A3:
> a)
>
> [ [a]+] = [a+b]
> [mm]\gdw[a]+[b] \equiv[/mm] a+b mod m[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][a]+[b] [mm]\equiv[/mm] a+b mod m stimmt wenn: a+b - (a mod m + b mod [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]m) durch m teilbar ist.[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]a+b - (a mod m + b mod m)[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [mm]\gdw[/mm] a + b - a mod m - b mod m[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [mm]\gdw[/mm] (a - a mod m) + (b - b mod m)[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]Da (a - a mod m) und (b - b mod m) sicherlich duch m [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]teilbar sind ist auch die Summe duch m teilbar und folglich [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]stimmt:[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b][ [a]+[b]] = [a+b] [/b][/b][/b][/mm]
> [mm][b][b][b][/b][/b][/b][/mm]
> [mm][b][b][b][/b][/b][/b][/mm]
> [mm][b][b][b] [/b][/b][/b][/mm]
Hallo,
Deine Gedanken sind hier völlig richtig.
Ich stoße mich an zweierlei:
1. an der Schreibweise a mod m.
Ist das bei Euch so üblich? Definiert worden? (In der Mathematik, meine ich.)
Ich kann mir etwas darunter vorstellen, wenn zwei Zahlen kongruent modulo m sind, unter "a mod m" nicht - obgleich ich es natürlich verstehe...
2. die Äquivalenzpfeile.
Ich glaube, Du meinst dort eher Gleichheitszeichen.
Es gibt da ja auch keine Aussagen, die äquivalent sein könnten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mo 19.11.2007 | | Autor: | then3210 |
Ich glaube in der VL wurde es glaube ich nicht so geschrieben. Wie ist es besser?
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> Ich glaube in der VL wurde es glaube ich nicht so
> geschrieben. Wie ist es besser?
Ich würde da die eckigen Klammern stehen lassen, also zeigen, daß
a+b-([a]+[b]) ein Vielfaches v. m ist, genau auf die Art, wie Du es getan hast.
Wenn v. a der Rest [a] subtrahiert wird, bleibt ein Vielfaches v. m übrig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 19.11.2007 | | Autor: | then3210 |
A1:
-(- [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
0 = [mm] \lambda [/mm] + (- [mm] \lambda)
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\lambda [/mm] ist das Inverse zu [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda [/mm] das Inverse zu [mm] -\lambda
[/mm]
[mm] -(-\lambda) [/mm] ist das Inverse zu [mm] -\lambda
[/mm]
Aus der Eindeutigkeit des Inversen folgt die Beh:
(- [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Stimmt es?
Noch einen Tip für den Rest?
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> A1:
>
> Stimmt es?
Ja.
Der zweite Teil v. a) geht so ähnlich, probier halt mal ein bißchen,
und bei b) mußt Du ja nur unter der Verwendung der Resultate v. a) rechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 19.11.2007 | | Autor: | then3210 |
-1 ist invers zu 1
1 = -(-1) = (-1)*(-1)
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> -1 ist invers zu 1
>
> 1 = -(-1) = (-1)*(-1)
Wie begründest Du denn das zweite Gleichheitszeichen?
Mich überzeugt's nicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 19.11.2007 | | Autor: | then3210 |
A2:
a)
(a,b) [mm] \oplus [/mm] (c,d) := (a+c,b+d) neutral: (0,0)
(a,b) [mm] \oplus [/mm] (0,0) = (a+0,b+0) = (a,b)
(0,0) [mm] \oplus [/mm] (c,d) = (0+ c,0+d) = (c,d)
(a,b) [mm] \otimes [/mm] (c,d) := (ac,bc+ad) neutral: (1,0)
(a,b) [mm] \otimes [/mm] (1,0) = (1a,1b+0a) = (a,b)
(1,0) [mm] \otimes [/mm] (c,d) = (1c,0d+1d) = (c,d)
b) Bin ich mir nicht sicher.... gibt es eindeutige Inverse?
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> A2:
> a)
>
> (a,b) [mm]\oplus[/mm] (c,d) := (a+c,b+d) neutral: (0,0)
>
> (a,b) [mm]\oplus[/mm] (0,0) = (a+0,b+0) = (a,b)
> (0,0) [mm]\oplus[/mm] (c,d) = (0+ c,0+d) = (c,d)
>
>
> (a,b) [mm]\otimes[/mm] (c,d) := (ac,bc+ad) neutral: (1,0)
>
> (a,b) [mm]\otimes[/mm] (1,0) = (1a,1b+0a) = (a,b)
> (1,0) [mm]\otimes[/mm] (c,d) = (1c,0d+1d) = (c,d)
>
> b) Bin ich mir nicht sicher.... gibt es eindeutige Inverse?
Tja, das ist so die Frage...
Vor allem auch, ob man jedes v. (0,0) verschiedene Element invertieren kann.
Versuch doch mal, ein Inverses zu (a,b) auszurechnen und schau, an welcher Stelle es Probleme gibt.
Gruß v. Angela
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