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| Aufgabe | Es sei die Abbildung
[mm] $\phi [/mm] : [mm] \IZ[i] \to Z_{10}$ [/mm] , $a+b*i [mm] \mapsto \overline{a+3*b}$
[/mm]
gegeben, wobei i die imaginäre Einheit bezeichne.
(a) Beweisen Sie, dass [mm] \phi [/mm] ein surjektiver Ringhomomorphismus ist.
(b) Zeigen Sie, dass der Kern von [mm] \phi [/mm] ein Hauptideal in [mm] \IZ[i] [/mm] ist, das von einem Element erzeugt werden kann, welches kein Primelement ist. |
Hi Leute,
(a)
Hier habe ich zuerst die drei Ringhomom.-bedingungen
[mm] $\phi(e)=e$ [/mm] , [mm] $\phi(a+b) [/mm] = [mm] \phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b)$ [/mm] und [mm] $\phi(a \cdot [/mm] b) = [mm] \phi(a) \cdot \phi(b)$ [/mm] mit a,b [mm] \in \IZ[i]
[/mm]
nachgeprüft und konnte zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Ringhomomorphismus handelt.
Die Surjektivität ich hab ich gezeigt, in dem ich einfach 10 Elemente aus [mm] \IZ[i] [/mm] explizit angegeben habe, die auf alle 10 Elemente von [mm] Z_{10} [/mm] zeigen:
[mm] $1+0\cdot [/mm] i$ zeigt auf [mm] \overline{1+3*0} =\overline{1}
[/mm]
[mm] $2+0\cdot [/mm] i$ zeigt auf [mm] \overline{2+3*0} =\overline{2}
[/mm]
...
[mm] $10+0\cdot [/mm] i$ zeigt auf [mm] \overline{10+3*0} =\overline{10}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] surjektiver Ringhomom.
Soweit richtig?
(b)
Nun, hier verstehe ich nur die Hälfte (oder weniger) der Aufgabe.
Aber ich habe mal den Kern von [mm] \phi [/mm] ausgerechnet und kam auf folgendes Ergebnis:
[mm] Ker(\phi) \Rightarrow \phi(a+b*i) [/mm] = [mm] \overline{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Für $a+b*i$ [mm] \in Ker(\phi) [/mm] gilt: [mm] \overline{a+3b} [/mm] = $k [mm] \cdot \overline{10}$ [/mm] mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Jetzt habe ich ein wenig rumprobiert und kam auf folgende Ergebnisse:
$t [mm] \cdot [/mm] 10 + 0 [mm] \cdot [/mm] i [mm] \in Ker(\phi)$ [/mm] mit $t [mm] \in \IZ$
[/mm]
und
$s + 3 [mm] \cdot [/mm] s = s(1+3 [mm] \cdot [/mm] i) [mm] \in Ker(\phi)$ [/mm] mit $s [mm] \in \IZ$
[/mm]
Was muss ich jetzt weiter machen?
Ich weiß, dass ein Hauptideal ein Ideal der Form (a) ist, wobei a ein Element eines Ringes ist.
Falls es was hilft, ich habe schon nachgewiesen, dass $s(1+3 [mm] \cdot [/mm] i)$ ein Ideal ist.
Danke für eure Hilfe
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Hi,
| Aufgabe | Es sei die Abbildung
[mm] \phi : \IZ[i] \to Z_{10} , a+b\cdot{}i \mapsto \overline{a+3\cdot{}b} [/mm]
gegeben, wobei i die imaginäre Einheit bezeichne.
(a) Beweisen Sie, dass [mm] \phi [/mm] ein surjektiver Ringhomomorphismus ist.
(b) Zeigen Sie, dass der Kern von [mm] \phi [/mm] ein Hauptideal in [mm] \IZ[i] [/mm] ist, das von einem Element erzeugt werden kann, welches kein Primelement ist. |
> Hier habe ich zuerst die drei Ringhomom.-bedingungen
> [mm] \phi(e)=e [/mm] , [mm] \phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b) [/mm] und $ [mm] \phi(a \cdot [/mm] b) = [mm] \phi(a) \cdot [/mm]
> [mm] \phi(b)[/mm] [mm] mit a,b [/mm] [mm] \in \IZ[i] [/mm] $
> nachgeprüft und konnte zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Ringhomomorphismus handelt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Surjektivität ich hab ich gezeigt, in dem ich einfach 10 Elemente aus [mm] \IZ[i] [/mm]
> explizit angegeben habe, die auf alle 10 Elemente von [mm] Z_{10} [/mm] zeigen:
> [mm] 1+0\cdot i [/mm] zeigt auf [mm] \overline{1+3\cdot{}0} =\overline{1} [/mm]
> [mm] 2+0\cdot i [/mm] zeigt auf [mm] \overline{2+3\cdot{}0} =\overline{2} [/mm]
> ...
> [mm] 10+0\cdot i [/mm] zeigt auf [mm] \overline{10+3\cdot{}0} =\overline{10} [/mm]
> [mm] \Rightarrow [/mm] surjektiver Ringhomom.
Genau für jedes Element in [mm]Z_{10}[/mm] existiert ein Urbild in [mm]\IZ[i][/mm].
> (b)
> Nun, hier verstehe ich nur die Hälfte (oder weniger) der Aufgabe.
Klar ist ja erst einmal, dass der Kern ein Ideal ist.
> Aber ich habe mal den Kern von [mm] \phi [/mm] ausgerechnet und kam auf folgendes Ergebnis:
> [mm] Ker(\phi) \Rightarrow \phi(a+b\cdot{}i) [/mm] = [mm] \overline{0} [/mm]
> [mm] \Rightarrow [/mm] Für [mm] a+b\cdot{}i [/mm] [mm] \in Ker(\phi) [/mm] gilt: [mm] \overline{a+3b} [/mm] = $ k
> [mm] \cdot \overline{10}[/mm] [mm] mit k [/mm] [mm] \in \IZ [/mm] $
Ich hätte allerdings hier hingeschrieben: [mm]\IZ[i][/mm] ist Hauptidealring => Kern ist Hauptideal. (Das wäre ja allgemein bekannt).
aus a+3b=0 folgt ja a=-3b. Damit wäre ein Erzeuger meines Erachtens z=a+ib geschrieben als Tupel (a,b):
(1,-3)
Damit liegt z.B. 10t im Ideal: Falls b=0 => a = 0 als Vielfaches von 10
Jedes andere Element vom Kern ist ein Vielfaches von (1,-3).
z.B. [mm]b=5 \Rightarrow a \equiv -15 \equiv -5 \equiv 5[/mm]
und [mm]5+3*5 = 20 \equiv0[/mm]
Zum Primelement:
Wäre der Kern ein Primelement, dann [mm]\IZ[i] \setminus Ker(\phi)\cong H[/mm] mit H ist Integritätsbereich. Und gibt es hier Nullteilerfreiheit?
Ich hoffe, dass ich helfen konnte.
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