Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mo 12.11.2007 | | Autor: | devil_rv |
Sei [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IQ \to \IQ [/mm] ein Ringhomomorphismus (zur Erinnerung: Dies bedeutet, dass [mm] \varphi [/mm] ( a+b) = [mm] \varphi [/mm] (a) + [mm] \varphi [/mm] (b) und [mm] \varphi [/mm] (a [mm] \* [/mm] b) = [mm] \varphi [/mm] (a) [mm] \* \varphi [/mm] (b) für alle a,b [mm] \in \IQ [/mm] erfüllt sind.) Zeigen Sie, dass nur die folgende Alternative möglich ist:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] \varphi [/mm] (a) = 0 [mm] \vee \forall [/mm] a [mm] \in \IQ: \varphi [/mm] (a) =a
Bew:
Ansatz:
Falls [mm] \varphi [/mm] (b) [mm] \not= [/mm] 0 für ein b [mm] \in \IQ [/mm] dann gilt [mm] \varphi [/mm] (1) = 1
ist mein Ansatz richtig? denn ich komme nicht weiter. Ich finde irgendwie nie den richtigen Ansatz, so dass ich die Beh. beweisen kann. Kann mir vielleicht einer von euch helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei [mm]\varphi[/mm] : [mm]\IQ \to \IQ[/mm] ein Ringhomomorphismus (zur
> Erinnerung: Dies bedeutet, dass [mm]\varphi[/mm] ( a+b) = [mm]\varphi[/mm]
> (a) + [mm]\varphi[/mm] (b) und [mm]\varphi[/mm] (a [mm]\*[/mm] b) = [mm]\varphi[/mm] (a) [mm]\* \varphi[/mm]
> (b) für alle a,b [mm]\in \IQ[/mm] erfüllt sind.) Zeigen Sie, dass
> nur die folgende Alternative möglich ist:
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IQ[/mm] : [mm]\varphi[/mm] (a) = 0 [mm]\vee \forall[/mm] a [mm]\in \IQ: \varphi[/mm]
> (a) =a
>
> Bew:
> Ansatz:
> Falls [mm]\varphi[/mm] (b) [mm]\not=[/mm] 0 für ein b [mm]\in \IQ[/mm] dann gilt
> [mm]\varphi[/mm] (1) = 1
ja das stimmt. allerdings muss man das natürlich noch begründen.
zeige nun mit der additivität und etwa vollständiger induktion, dass [mm] $\forall \, [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}: \varphi(n) [/mm] = n$. zeige danach eine analoge aussage für alle ganze zahlen und schließlich noch für alle rationalen zahlen, wobei die argumente jeweils auf den vorhergehenden schritt aufbauen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 13.11.2007 | | Autor: | devil_rv |
> hi
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> > Sei [mm]\varphi[/mm] : [mm]\IQ \to \IQ[/mm] ein Ringhomomorphismus (zur
> > Erinnerung: Dies bedeutet, dass [mm]\varphi[/mm] ( a+b) = [mm]\varphi[/mm]
> > (a) + [mm]\varphi[/mm] (b) und [mm]\varphi[/mm] (a [mm]\*[/mm] b) = [mm]\varphi[/mm] (a) [mm]\* \varphi[/mm]
> > (b) für alle a,b [mm]\in \IQ[/mm] erfüllt sind.) Zeigen Sie, dass
> > nur die folgende Alternative möglich ist:
> >
> > [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IQ[/mm] : [mm]\varphi[/mm] (a) = 0 [mm]\vee \forall[/mm] a [mm]\in \IQ: \varphi[/mm]
> > (a) =a
> >
> > Bew:
> > Ansatz:
> > Falls [mm]\varphi[/mm] (b) [mm]\not=[/mm] 0 für ein b [mm]\in \IQ[/mm] dann gilt
> > [mm]\varphi[/mm] (1) = 1
>
> ja das stimmt. allerdings muss man das natürlich noch
> begründen.
>
> zeige nun mit der additivität und etwa vollständiger
> induktion, dass [mm]\forall \, n \in \mathbb{N}: \varphi(n) = n[/mm].
> zeige danach eine analoge aussage für alle ganze zahlen und
> schließlich noch für alle rationalen zahlen, wobei die
> argumente jeweils auf den vorhergehenden schritt aufbauen.
>
> grüße
> andreas
ok also dh
[mm] Additivität:\varphi( [/mm] a+b) = [mm] \varphi [/mm] (a) + [mm] \varphi(b) [/mm] a=n
[mm] \varphi(n+b) [/mm] = [mm] \varphi [/mm] (n) + [mm] \varphi(b)
[/mm]
IA. (n=1) [mm] \varphi(1+b) [/mm] = [mm] \varphi [/mm] (1) + [mm] \varphi(b) [/mm] ist wahr
IS n [mm] \to [/mm] n+1 [mm] \varphi(n+1+b) [/mm] = [mm] \varphi [/mm] (n+1) + [mm] \varphi(b)
[/mm]
Richtig? wenn ja wie komm ich jetzt auf [mm] \varphi [/mm] (n) = n ??? wie bekomm ich das b raus???
Wenn das jetzt richtig ist kann ich n wieder durch a ersetzen und dann hab ich ja bewiesen das [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ: \varphi [/mm] (a) =a stimmt???
Wie beweise ich jetzt [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] \varphi [/mm] (a) = 0
und warum muss ich jetzt noch analog die Aussagen für [mm] \IZ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] durchfürhen und vorallem wie?
Erst mal noch vielen dank für eure Hilfe!!!
Ich bin im 1 Semester und ich habe ein großes Problem bei allen Aufgaben. Ich finde nie einen Ansatz der mich zur Lösung führt, ausserdem find ich keinen Anschluss an den Stoff der Vorlesung könnt ihr mir dazu vielleicht auch noch Tipps geben. Wie ich auf den Ansatz komme und wie ich der Vorlesung wenigstens ein bisschen folgen kann?
Liebe Grüße Susi
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| Aufgabe |
Sei $ [mm] \varphi [/mm] $ : $ [mm] \IQ \to \IQ [/mm] $ ein Ringhomomorphismus (zur Erinnerung: Dies bedeutet, dass $ [mm] \varphi [/mm] $ ( a+b) = $ [mm] \varphi [/mm] $ (a) + $ [mm] \varphi [/mm] $ (b) und $ [mm] \varphi [/mm] $ (a $ * $ b) = $ [mm] \varphi [/mm] $ (a) $ * [mm] \varphi [/mm] $ (b) für alle a,b $ [mm] \in \IQ [/mm] $ erfüllt sind.) Zeigen Sie, dass nur die folgende Alternative möglich ist:
$ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IQ [/mm] $ : $ [mm] \varphi [/mm] $ (a) = 0 $ [mm] \vee \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IQ: \varphi [/mm] $ (a) =a
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wir machen das jetzt mal ganz langsam:
Du hast also einen Ringhomomorphismus [mm] \varphi [/mm] v. [mm] \IQ \to \IQ [/mm] gegeben.
Ein Ringhomomorphismus ist eine Funktion mit besonderen Eigenschaften, sie sind oben angegeben.
(Mach Dir klar, daß die meisten Funktionen diese Eigenschaft nicht haben! ).
Du sollst nun zeigen, daß es überhaupt nur zwei Ringhomomorphismen v. [mm] \IQ \to \IQ [/mm] gibt, nämlich die Nullabbildung und die Identität.
Das ist die Aussage der Zeile
> $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IQ [/mm] $ : $ [mm] \varphi [/mm] $ (a) = 0 $ [mm] \vee \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IQ: \varphi [/mm] $ (a) =a .
Der Ansatz, den Du mitlieferst, legt es einem nahe, sich zunächst damit zu beschäftigen, auf welche Elemente die 1 überhaupt abgebildet werden kann durch einen Ringhomomorphismus, also festzustellen, welche Werte [mm] \varphi(1) [/mm] annehmen kann.
Und genau das werden wir nun tun:
Zu zeigen: $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IQ [/mm] $ : $ [mm] \varphi [/mm] $ (a) = 0 $ [mm] \vee \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IQ: \varphi [/mm] $ (a) =a
Beweis: Es ist [mm] \varphi [/mm] nach Voraussetzung ein Ringhomomorphismus.
Da 1=1*1, gilt
[mm] \varphi(1)= \varphi(1*1)=....
[/mm]
Dieses Ergebnis mußt Du nun interpretieren. Welche beiden Möglichkeiten hast Du für [mm] \varphi(1)?
[/mm]
Die Konsequenzen dieser Möglichkeiten untersuchst Du anschließend:
Fall 1: [mm] \varphi(1)=...
[/mm]
Für alle a [mm] \in \IQ [/mm] gilt [mm] \varphi(a)=\varphi(a*1)= [/mm] ...= ...
Fall 2: [mm] \varphi(1)=...
[/mm]
Für alle a [mm] \in \IQ [/mm] gilt [mm] \varphi(a)=\varphi(a*1)= [/mm] ...= ...
Wenn Du das richtig machst, sollte Dein Ergebnis dastehen. (Induktion brauchst Du hier nicht.)
Versuch mal Dein Glück hiermit.
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> Ich bin im 1 Semester und ich habe ein großes Problem bei allen Aufgaben. Ich finde nie einen Ansatz der mich zur Lösung führt, ausserdem find ich keinen Anschluss an den Stoff der
> Vorlesung könnt ihr mir dazu vielleicht auch noch Tipps geben. Wie ich auf den Ansatz komme und
> wie ich der Vorlesung wenigstens ein bisschen folgen kann?
Du stehst mit Deinem Problem nicht allein da, möglicherweise hast Du das noch nicht gemerkt.
Es geht ganz vielen am Anfang so wie Dir.
Ich bin mir sicher, daß die allermeisten in den Vorlesungen nicht alles verstehen. Wer den Faden bis zum Vorlesungsende nicht verloren hat, kann sich freuen, selbst, wenn Fragen offengeblieben sind.
Man muß sich einfach davon verabschieden, daß das so ist wie in der Schule, wo man im Vorübergehen alles mitbekommt, nicht zuletzt auch deshalb, weil es in der Schule im Zeitlupentempo vorwärts geht, und falls man wirklich mal was nicht gehört hat, kann man sicher sein, daß es in den folgenden Stundne noch dreimal erklärt wird.
So ist das in der Vorlesung nicht, und es ist auch nicht das Ziel einer Vorlesung, das die Studenten nach Hause gehen und nun alles wissen. Das Ziel ist eher, daß sie wissen sollen, was sie wissen müssen.
Die Folge: man muß diese Vorlesungen daheim nacharbeiten mithilfe v. Mitschrift, Skript und Buch - oder sogar mehreren Büchern. Diese Arbeit kann Dir niemand abnehmen. Allerdings kann es je nach Lerntyp sinnvoll sein, dies gemeinsam mit Kommilitonen zu tun. Wenn man darüber spricht, formuliert, was man nicht versteht, wird schon während dieses Prozesses manches klarer. "Ich kapier das nicht, ich kann das nicht" bringt niemanden weiter, aber von "Ich verstehe nicht, warum an dieser Stelle..." kann man selbst und auch andere sehr profitieren.
Ja, das ist mit Arbeit verbunden, und u.U. muß man das erstmal lernen. Mir ging das jedenfalls so. Ich war das nicht gewohnt.
Nun weiß ich auch, wie knapp die Zeit ist, die Aufgabenblätter sitzen einem in Nacken, der Tag hat nicht 48 Stunden - und manchmal möchte man auch etwas anderes machen - dazu weiter unten.
Erstmal dei Aufgabenblätter:
Die sind ungeheuer wichtig, völlig unabhängig davon, wieviel Prozent an Punkten man benötigt. Sie sind so wichtig, weil hier der Stoff angewendet wird und das mathematische Denken und Formulieren geübt.
Du mußt herausfinden, was für ein Lerntyp Du bist. U.U. kannst Du von Gruppenarbeit sehr profitieren - damit meine ich ausdrücklich nicht, daß Du abschreiben sollst, sondern gegenseitiges Erklären, Fragen, Sammeln von Ideen, ja, auch Nachvollziehen v. Lösungen anderer kann das beinhalten. In Maßen.
Du solltest Dich auch nicht scheuen, zu den Sprechstunden zu gehen. Die sind nicht nur für die Genies...
Du solltest vorbereitet hingehen. Nicht: ich kann das nicht, heul heul, sondern mit Fragen und mit dem, was Du Dir überlegt hast.
Zu den Übungen haben oft die Hiwis Tips, irgendwann wirst Du wissen, zu wem Du am besten gehst. Damit meine ich nicht: wer alles verrät, sondern wer Dir Dinge gut erklären kann und versteht, wo Schwierigkeiten liegen können.
Ich selbst habe irgendwann herausgefunden, daß ich an den Hausübungen am meisten lerne. Ich habe das Nacharbeiten der Vorlesung und das Bearbeiten der HÜ parallel betrieben. Zunächst mal die vorkommenden Definitionen geklärt, geguckt, welche Sätze dazu passen und dann losgelegt. Das ist (jedenfalls für mich!) keine Sache von nur zwei Stunden gewesen... Erst nach diesen Vorarbeiten ist für mich die Arbeit in der Gruppe sinnvoll gewesen, aber das sind Dinge, die man wirklich selbst herausfinden muß, die Menschen ticken verschieden.
Wichtig ist, daß man sich in seinen Schwierigkeiten nicht einigelt. Hör Dich um, anderen fliegt auch nicht alles zu. Such den Kontakt zu Kommilitonen, sieh zu, daß Du an der Uni heimisch wirst, AGs, Fachschaft was weiß ich. man fühlt sich dann wohler, und das beflügelt.
Wir hatten damals einen alten Herrn als Prof., dessen Vorlesung einige Schwächen (bzw. Besonderheiten) hatte, und dem die Ausbildung der Studenten sehr am Herzen lag. Er hat gesagt: "Sie dürfen nie so weit kommen, daß sie nicht mehr mit Genuß ein schönes Buch lesen können."
Ich finde das wichtig. Das Studium ist arbeitsintensiv, aber man muß sich Zeiten freihalten für Dinge, die man gerne tut.
Was das ist, weiß man selbst sicher am besten. Für den einen Party, für den nächsten Sport, Musik oder sonstwas.
Schön wenn man manches davon mit Kommilitonen macht, vielleicht im Anschluß ans Lernen?
Huch - das ist jetzt lang geworden! Such Dir das Passende raus.
Gruß v. Angela
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