Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 So 17.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | [mm] \textbf{Behauptung:} [/mm] Die Abbildung [mm] \eta:\mathbb{C}=(\mathbb{R}^{2},+,\cdot)\rightarrow(M(2\times2,\mathbb{R}),+,\cdot) [/mm] definiert durch [mm] \eta(a,b)=\begin{pmatrix}a & -b\\
b & a\end{pmatrix} [/mm] ist ein injektiver Ring-Homomorphismus. |
Hallo,
hier habe ich mal folgendes gemacht:
[mm] \textbf{Beweis:} [/mm] zu zeigen:
(i) [mm] \eta((a,b)+(c,d))=\eta(a,b)+\eta(c,d)
[/mm]
(ii) [mm] \eta((a,b)\cdot(c,d))=\eta(a,b)\cdot\eta(c,d)
[/mm]
(iii) [mm] \eta(1_{\mathbb{C}})=\eta(1_{M}).
[/mm]
Wenn ich das gezeigt habe, weiß ich, dass das ein Ringhomomorphismus ist, richtig? Dann muss ich noch zeigen ker=0 für die Injektivität.
Aber zunächst mal zu (i):
Habe folgendes gemacht:
[mm] \eta((a,b)+(c,d))=\begin{pmatrix}a & -b\\
b & a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c & -d\\
c & d\end{pmatrix}
[/mm]
Ist diese Rechnung so richtig? Ich meine dann habe ich doch gleich [mm] \eta(a,b)+\eta(c,d). [/mm] Oder muss es vielmehr heißen:
[mm] \eta((a,b)+(c,d))=\begin{pmatrix}a+c & -b-d\\
b+c & a+d\end{pmatrix}
[/mm]
?
Letztenendes ist das zwar dann das gleiche, aber rein nach Definition der Abbildung, welcher Schritt ist da richtig?
Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum gepostet.
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Hallo Unk,
> [mm]\textbf{Behauptung:}[/mm] Die Abbildung
> [mm]\eta:\mathbb{C}=(\mathbb{R}^{2},+,\cdot)\rightarrow(M(2\times2,\mathbb{R}),+,\cdot)[/mm]
> definiert durch [mm]\eta(a,b)=\begin{pmatrix}a & -b\\
b & a\end{pmatrix}[/mm]
> ist ein injektiver Ring-Homomorphismus.
> Hallo,
>
> hier habe ich mal folgendes gemacht:
> [mm]\textbf{Beweis:}[/mm] zu zeigen:
>
> (i) [mm]\eta((a,b)+(c,d))=\eta(a,b)+\eta(c,d)[/mm]
>
> (ii) [mm]\eta((a,b)\cdot(c,d))=\eta(a,b)\cdot\eta(c,d)[/mm]
>
> (iii) [mm]\eta(1_{\mathbb{C}})=\eta(1_{M}).[/mm]
>
> Wenn ich das gezeigt habe, weiß ich, dass das ein
> Ringhomomorphismus ist, richtig? Dann muss ich noch zeigen
> ker=0 für die Injektivität.
Daß es ein Ringhomomorphismus ist, weißt Du schon mit Teil 1 und 2. Warum möchtest Du das mit der Einheitsmatrix beweisen? Aber mit dem Kern von [mm]\eta[/mm] liegst Du richtig.
>
> Aber zunächst mal zu (i):
> Habe folgendes gemacht:
> [mm]\eta((a,b)+(c,d))=\begin{pmatrix}a & -b\\
b & a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c & -d\\
c & d\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist diese Rechnung so richtig? Ich meine dann habe ich doch
> gleich [mm]\eta(a,b)+\eta(c,d).[/mm] Oder muss es vielmehr heißen:
Richtig ist's schon; ich persönlich finde, es ist nicht ganz so klar.
> [mm]\eta((a,b)+(c,d))=\begin{pmatrix}a+c & -b-d\\
b+c & a+d\end{pmatrix}[/mm]
>
> ?
So ist es finde ich schon klarer.
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> Letztenendes ist das zwar dann das gleiche, aber rein nach
> Definition der Abbildung, welcher Schritt ist da richtig?
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Folgere daraus, dass die Menge aller reellen [mm] (2\times [/mm] 2)-Matrizen der Form [mm] \pmat{a&-b\\b&a} [/mm] ein Körper ist. |
Hallo,
ich könnte hier jetzt ganz banal die Körperaxiome nachweisen, aber ich soll das ganze ja aus dem Faktum, dass [mm] \eta [/mm] ein Ring-Homomorphismus ist ableiten, wobei ich nicht weiß wie?
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Hallo Unk,
> Folgere daraus, dass die Menge aller reellen [mm](2\times[/mm]
> 2)-Matrizen der Form [mm]\pmat{a&-b\\b&a}[/mm] ein Körper ist.
> Hallo,
>
> ich könnte hier jetzt ganz banal die Körperaxiome
> nachweisen, aber ich soll das ganze ja aus dem Faktum, dass
> [mm]\eta[/mm] ein Ring-Homomorphismus ist ableiten, wobei ich nicht
> weiß wie?
Kennst Du dich mit Restklassenringen au? Dann könntest Du den (ich glaube 3.) Isomorphiesatz benutzen.
Aber es gibt ja auch die Inverse Abbildung zu [mm]\eta[/mm]. Jetzt wende doch mal den Isomorphismus auf zwei zueinander inverse Elemente an; was kannst Du dann über die Bilder sagen?
Gruß
Zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Unk |
> Kennst Du dich mit Restklassenringen au? Dann könntest Du
> den (ich glaube 3.) Isomorphiesatz benutzen.
Nein, da ist mein Wissen sehr begrenzt.
> Aber es gibt ja auch die Inverse Abbildung zu [mm]\eta[/mm].
Ich habe doch aber nur gezeigt, dass es ein injektiver Ring-Homomorphismus ist und kein bijektiver. Wie kann ich dann mit dem Isomorphismus argumentieren?
> Jetzt
> wende doch mal den Isomorphismus auf zwei zueinander
> inverse Elemente an; was kannst Du dann über die Bilder
> sagen?
Ich weiß leider nicht worauf du hinauswillst.
> Gruß
> yahlenspieler
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Hallo Unk,
> > Kennst Du dich mit Restklassenringen au? Dann könntest Du
> > den (ich glaube 3.) Isomorphiesatz benutzen.
>
> Nein, da ist mein Wissen sehr begrenzt.
>
OK, da hatte ich mich wohl "vergaloppiert".
Die Idee ist folgnde: Ein kommutativer Ring [mm](R, +, \cdot)[/mm] ist ein Körper, wenn [mm](R \setminus {0}, \cdot)[/mm] eine *Gruppe* ist, wenn es also zu jedem [mm] a \ne 0[/mm] ein mult. Inverses gibt.
Wenn Du jetzt noch zeigst: Sind [mm] A:=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix},\;B:=\begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}[/mm], die nicht die Nullmatrix sind, so daß [mm]\eta(A)*\eta(B)=(1,0)[/mm], dann sind [mm]A,B[/mm] zueinander invers. Dann bist Du schon fertig.
Gruß
zahlenspieler
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