Ringhomomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:51 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Habe Schwierigkeiten, einen Beweis auzuführen. Es geht um folgendes:
Seien R und S Ringe und f: R->S ein Ringhomomorphismus.
Wie zeigt man, dass f(1R)=1S, falls f surjektiv ist und dass das gleiche gilt, falls S ungleich 0 und nullteilerfrei ist?
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruß P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mo 30.05.2005 | | Autor: | terrier |
ich frag mich was das surjektiv mit 1) zu tun haben soll,dachte eigentlich das homomorphismus =k-lineare abbildung,d.h. f(a+b)=f(a)+f(b) bzgl +,und f(ab)=f(a)f(b) bzgl *,und gleichermaßen das homomorphismus genau das impliziert,das das neutrale element einer gruppe auf sich selbst abgebildet wird.kannst frage nochmal genau stellen?vielleicht hab ich das falsch verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mo 30.05.2005 | | Autor: | NECO |
> Hallo!
> Habe Schwierigkeiten, einen Beweis auzuführen. Es geht um
> folgendes:
> Seien R und S Ringe und f: R->S ein Ringhomomorphismus.
> Wie zeigt man, dass f(1R)=1S, falls f surjektiv ist und
> dass das gleiche gilt, falls S ungleich 0 und
> nullteilerfrei ist?
> Vielen Dank für euere Hilfe
> Gruß P
HI. Wenn S Nullteilerfrei ist, und nicht leer ist. Dann ist doch S Intehritätsbereich. Ich glaube das hat was mit Integritätsring Eigenschaften zutun. Aber ich bin mir nicht so sicher.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Zunächst mal vielen Dank für euere Antworten. Ich werde meine Frage nochmal neu formulieren, vielleicht ist sie dann besser verständlich:
Seien R und S Ringe und f:R->S ein Ringhomomorphismus. Man zeige:
a) f(1R)=1S, falls f surjektiv ist
b) f(1R)=1S, falls S ungleich 0 und S nullteilerfrei ist.
c) Sei u Element von [mm] R^{x} [/mm] und es gelte f(u) ist Element von [mm] S^{x}.
[/mm]
Dann gilt: f(1R)=1S und [mm] f(u)^{-1} [/mm] = [mm] f(u^{-1})
[/mm]
Kann leider nicht viel damit anfangen, wäre echt super nett, wenn ihr mir weiter helfen könntet.
Vielen Dank und Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
> Zunächst mal vielen Dank für euere Antworten. Ich werde
> meine Frage nochmal neu formulieren, vielleicht ist sie
> dann besser verständlich:
> Seien R und S Ringe und f:R->S ein Ringhomomorphismus. Man
> zeige:
> a) f(1R)=1S, falls f surjektiv ist
Es sei $s [mm] \in [/mm] S$ beliebig gewählt. Da $f$ surjektiv ist, gibt es ein $r [mm] \in [/mm] R$ mit $f(r)=s$.
Es folgt:
[mm] $f(1_R) \cdot [/mm] s = [mm] f(1_R) \cdot [/mm] f(r) = [mm] f(1_R \cdot [/mm] r) ) f(r) = s$.
Analog zeigt man:
$s [mm] \cdot f(1_R) [/mm] = s$.
Daraus folgt: [mm] $f(1_R)=1_S$.
[/mm]
> b) f(1R)=1S, falls S ungleich 0 und S nullteilerfrei ist.
Wie habt ihr Ringhomomorphismus genau definiert?
> c) Sei u Element von [mm]R^{x}[/mm] und es gelte f(u) ist Element
> von [mm]S^{x}.[/mm]
> Dann gilt: f(1R)=1S und [mm]f(u)^{-1}[/mm] = [mm]f(u^{-1})[/mm]
Es gilt zunächst:
$f(u) = [mm] f(1_R \cdot [/mm] u) = [mm] f(1_R) \cdot [/mm] f(u)$.
Multipliziert man beide Seiten von links mit [mm] $f(u)^{-1}$, [/mm] so folgt:
[mm] $1_S [/mm] = [mm] f(1_R)$.
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $1_S [/mm] = [mm] f(1_R) [/mm] = [mm] f(u\cdot u^{-1}) [/mm] = f(u) [mm] \cdot f(u^{-1})$,
[/mm]
woraus unmittelbar [mm] $f(u^{-1})=(f(u))^{-1}$ [/mm] folgt.
Viele Grüße
Julius
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