Ringhomomorphismus injektiv < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A ein kommutativer Ring mit A ungleich {0}. Beweisen, dass die folgenden Behauptungen äquivalent zueinander sind :
1. A ist ein Körper;
2. Jeder Ringhomomorphismus von A nach einem Nichtnullring B ist injektiv. |
Hallo,
die Hinrichtung habe ich, denke ich:
A Körper
Daraus folgt
für jedes a Element A \ {0} existiert ein a^(-1) mit a^(-1)a = e
Ein Ringhomomorphismus f: A -> B ist injektiv falls der Kern trivial ist
Angenommen sei der Kern nicht trivial und es gibt in a das im Kern liegt.
f(a) = 0
1 = f(1) nach Definition Ringhomomorphismus
1 = f(1) = f(a^(-1)*a) = f(a^(-1)) * f(a) = f(a^(-1)) * 0 = 0
(3 Gleichheit weil Ringhomomorphismus)
und 1 = 0 ist Widerspruch, damit kann a nicht im Kern liegen und damit ist der Kern = {0}
Stimmt das so?
bei der Rückrichtung habe ich Schwierigkeiten! Und wäre sehr froh um einen Tipp für den Ansatz. Danke!
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Sei [mm] $a\in [/mm] A$. Du willst zeigen, dass $a=0$ oder [mm] $a\in A^\ast$ [/mm] gilt. Betrachte dazu den Homomorphismus [mm] $A\longrightarrow A/\langle a\rangle$.
[/mm]
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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Hallo, ich stehe leider immer noch auf dem Schlauch.
Ich weiss das pi: A -> A/(a) die kanonische Abbildung ist
und a [mm] \in [/mm] A auf a + (a) schickt, a + (a) = {a + a', a [mm] \in [/mm] A und a' in (a)}
mit (a) meine ich Ideal
Ich weiss auch das ein Körper A nur die Ideale {0} und {A} besitzt, aber wie kann ich es zeigen dass es hier keine weiteren Ideale geben kann?
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Was sagt dir die Voraussetzung der Aufgabe über [mm] $A\longrightarrow A/\langle a\rangle$?
[/mm]
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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A-> B ist Injektiv
A -> A/(a) surjektiv per Definition, aber wieso meinst du nach Voraussetzung der Aufgabe?
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Denke doch bitte etwas länger als eine Minute darüber nach, ob dir meine Tipps weiterhelfen. Die Voraussetzung der Aufgabe sagt dir, dass [mm] $A/\langle a\rangle$ [/mm] der Nullring ist, oder dass [mm] $A\longrightarrow A/\langle a\rangle$ [/mm] injektiv ist. Zur Erinnerung: Wir wollen zeigen, dass $a$ entweder eine Einheit oder Null ist.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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