Ringisomorphismen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Wir haben in der vorlesung gesehen, dass Ringe der Ordnung [mm] p^{2} [/mm] (p prim) (oder [mm] F_{p}-algebren [/mm] der Ordnung [mm] p^{2}) [/mm] isomorph sind zu eines der folgenden:
[mm] \IF_{p^{2}} \qquad \IF_{p}\times\IF_{p} \qquad \IF_{p}\left[x\right]/(x^{2})
[/mm]
Nun soll ich Paare [mm] (K,\mathfrak{a}), [/mm] wobei K ein quadr. Zahlkörper und [mm] \mathfrak{a} [/mm] ein Ideal ist in [mm] \mathcal{O}_{K}, [/mm] s.d. [mm] \mathcal{O}_{k}/\mathfrak{a} [/mm] isomorp ist zu:
- [mm] \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}
[/mm]
- [mm] \IF_{4}
[/mm]
- [mm] \IF_{2}\times\IF_{2}
[/mm]
- [mm] \IF_{2}\left[x\right]/(x^{2})
[/mm]
Ich wollte diese Aufgabe zuerst gar nicht posten, da ich dachte, sie müsse nicht so schwer sein.. doch ich komme einfach nicht dahinter, wie ich sowas machen soll...
Ich habe mir z.B für das erste überlegt:
K = [mm] \mathbb{Q}(i) [/mm] die Gaussschen Zahlen. Dann ist [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\left[i\right] [/mm] und [mm] (\mathbb{Z}\left[i\right])^{\times} \cong \IZ/4\IZ. [/mm]
Jetzt krieg ich irgendwie keine Darstellung für [mm] \mathfrak{a}, [/mm] so dass dies gilt.. ich habe sogar das Gefühl, dass das gar nicht geht..
Und wie suche ich Beispiele für die weiteren Fälle?
Danke schön an euch! :)
Grüsse, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 14.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben in der vorlesung gesehen, dass Ringe der Ordnung
> [mm]p^{2}[/mm] (p prim) (oder [mm]F_{p}-algebren[/mm] der Ordnung [mm]p^{2})[/mm]
> isomorph sind zu eines der folgenden:
>
> [mm]\IF_{p^{2}} \qquad \IF_{p}\times\IF_{p} \qquad \IF_{p}\left[x\right]/(x^{2})[/mm]
>
>
> Nun soll ich Paare [mm](K,\mathfrak{a}),[/mm] wobei K ein quadr.
> Zahlkörper und [mm]\mathfrak{a}[/mm] ein Ideal ist in
> [mm]\mathcal{O}_{K},[/mm] s.d. [mm]\mathcal{O}_{k}/\mathfrak{a}[/mm] isomorp
> ist zu:
>
> - [mm]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[/mm]
> - [mm]\IF_{4}[/mm]
> - [mm]\IF_{2}\times\IF_{2}[/mm]
> - [mm]\IF_{2}\left[x\right]/(x^{2})[/mm]
Seien [mm] $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_s$ [/mm] die Primideale in [mm] $\mathcal{O}_K$, [/mm] die ueber 2 liegen. Ueberleg dir, warum das folgende gilt:
Ist $s = 1$ und ist $2$ verzweigt in $K$, so ist [mm] $\calO_K/(2) [/mm] = [mm] \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_1^2 \cong \IZ/4\IZ$ [/mm] oder [mm] $\calO_K/(2) [/mm] = [mm] \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_1^2 \cong \IF_2[x]/(x^2)$.
[/mm]
Ist $s = 1$ und ist $2$ inert (mir faellt das deutsche Wort grad nicht ein), so gilt [mm] $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_1 \cong \IF_4$.
[/mm]
Ist $s = 2$ (also 2 spaltet in $K$), so gilt [mm] $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_i \cong \IF_2$, [/mm] und nach dem Chinesischen Restsatz [mm] $\mathcal{O}_K/(2) \cong \IF_2 \times \IF_2$.
[/mm]
Anders gesagt: du wirst immer mit [mm] $\mathcal{O}_K [/mm] / (2)$ fuendig, die Frage ist nur fuer welches $K$ was genau passiert.
Damit solltest du Beispiele finden koennen  Beim Fall, dass 2 verzweigt ist, musst du etwas genauer hinschauen.
> Ich wollte diese Aufgabe zuerst gar nicht posten, da ich
> dachte, sie müsse nicht so schwer sein.. doch ich komme
> einfach nicht dahinter, wie ich sowas machen soll...
>
> Ich habe mir z.B für das erste überlegt:
>
> K = [mm]\mathbb{Q}(i)[/mm] die Gaussschen Zahlen. Dann ist
> [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] = [mm]\mathbb{Z}\left[i\right][/mm] und
> [mm](\mathbb{Z}\left[i\right])^{\times} \cong \IZ/4\IZ.[/mm]
> Jetzt krieg ich irgendwie keine Darstellung für
> [mm]\mathfrak{a},[/mm] so dass dies gilt.. ich habe sogar das
> Gefühl, dass das gar nicht geht..
In [mm] $\IZ\left[i\right]$ [/mm] spaltet $2$ in die Primideale $(1 + i)$ und $(1 - i)$; es gilt somit [mm] $\IZ\left[i\right] [/mm] / (2) [mm] \cong \IF_2 \times \IF_2$, [/mm] da [mm] $\IZ\left[i\right] [/mm] / (1 + i)$ und [mm] $\IZ\left[i\right] [/mm] / (1 - i)$ Koerper mit zwei Elementen sind.
LG Felix
|
|
|
|
