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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 So 04.11.2007 | | Autor: | dalex |
| Aufgabe | Aufgabe:
Seien A, B Mengen und f: A --> B eine Abbildung. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) f ist injektiv
(b) Für alle C Teilmenge A gilt f^-1(f(C)) = C
(c) Für alle C, D teilmenge A mit C geschnitten D = leere Menge gilt f(C) geschnitten f(D) = leere Menge
(d) Für alle C, D Teilmenge A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D)
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Ich weiß nicht wo und vor allem wie ich da anfangen muss... ich weiß zwar das ich (a)=>(b)=>(c)=>(d)=>(a) über den widerspruchsbeweis zeigen soll aber ich hab keine ahnung wie ich loslege...
bitte helft mir
bdanke mich im voraus
dalex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe:
> Seien A, B Mengen und f: A --> B eine Abbildung. Zeigen
> sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
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> (a) f ist injektiv
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> (b) Für alle C Teilmenge A gilt f^-1(f(C)) = C
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> (c) Für alle C, D teilmenge A mit C geschnitten D = leere
> Menge gilt f(C) geschnitten f(D) = leere Menge
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> (d) Für alle C, D Teilmenge A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D)
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> Ich weiß nicht wo und vor allem wie ich da anfangen muss...
> ich weiß zwar das ich (a)=>(b)=>(c)=>(d)=>(a) über den
> widerspruchsbeweis zeigen soll aber ich hab keine ahnung
> wie ich loslege...
>
> bitte helft mir
>
Diese Aufgabe wurde von abi207LK schon in https://www.vorhilfe.de/read?i=319053 diskutiert. Vielleicht willst Du das anschauen und nach Bedarf dort weiterdiskutieren?
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> Aufgabe:
> Seien A, B Mengen und f: A --> B eine Abbildung. Zeigen
> sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
>
> (a) f ist injektiv
>
> (b) Für alle C Teilmenge A gilt f^-1(f(C)) = C
>
> (c) Für alle C, D teilmenge A mit C geschnitten D = leere
> Menge gilt f(C) geschnitten f(D) = leere Menge
>
> (d) Für alle C, D Teilmenge A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D)
>
> Ich weiß nicht wo und vor allem wie ich da anfangen muss...
> ich weiß zwar das ich (a)=>(b)=>(c)=>(d)=>(a) über den
> widerspruchsbeweis zeigen soll aber ich hab keine ahnung
> wie ich loslege...
Also, nein, Du musst die Teilimplikationen des Ringschlusses einfach irgendwie beweisen - nicht unbedingt mit Hilfe eines "Widerspruchsbeweises".
Nimm das Beispiel der Implikation (a)=>(b).
Sei also $f$ injektiv, d.h. aus [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] folgt [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Zu zeigen, dass dann für alle [mm] $C\subseteq [/mm] A$ gilt: [mm] $C=f^{-1}(f(C))$.
[/mm]
[mm] $C\subseteq f^{-1}(f(C))$ [/mm] gilt immer (d.h. auch für nicht-injektive Funktionen). Wäre aber [mm] $C\subsetneq f^{-1}(f(C))$, [/mm] dann gäbe es ein [mm] $x_1\in f^{-1}(f(C))\backslash [/mm] C$. Daraus folgt aber, [mm] $x_1\notin [/mm] C$ und [mm] $f(x_1)\in [/mm] f(C)$. Also muss es ein [mm] $x_2\in [/mm] C$ geben, so dass [mm] $f(x_2)=f(x_1)$ [/mm] aber [mm] $x_1\neq x_2$. [/mm] Was unserer Annahme der Injektivität von $f$ widersprechen würde. Also kann es kein solches [mm] $x_1$ [/mm] geben, woraus die zu beweisende Behauptung [mm] $C=f^{-1}(f(C))$ [/mm] folgt.
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Mich persönlich würde die Folgerung (d) => (a) interessieren.
Für alle C, D Teilmenge A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D) => f ist injektiv
Sei f(x) [mm] \in [/mm] f(C \ D) <=> [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] (C \ D) mit f(x) = f(y)
Sei f nicht injektiv. Dann gilt: y [mm] \not= [/mm] x mit f(x) = f(y)
Also ist x [mm] \not\in [/mm] (C \ D). Und damit x [mm] \not\in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] D.
Daraus folgt dann: f(x) [mm] \in [/mm] f(D) \ f(C).
Habe ich da richtig gefolgert?
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> Mich persönlich würde die Folgerung (d) => (a)
> interessieren.
> Habe ich da richtig gefolgert?
Hallo,
ich habe da an einigen Stellen Bedenken.
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> Für alle C, D Teilmenge A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D) => f
> ist injektiv
>
>
> Sei f(x) [mm]\in[/mm] f(C \ D) <=> [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] (C \ D) mit f(x) =
> f(y)
Das verstehe ich im Prinzip.
Etwas rätselhaft sind mir C und D. Was sollen das für Teilmengen sein? Irgendwelche?
>
> Sei f nicht injektiv.
Du möchtest einen Beweis per Widerspruch führen. Das verstehe ich.
> Dann gilt: y [mm]\not=[/mm] x mit f(x) = f(y)
Das verstehe ich nicht. Wenn f inicht injektiv ist, gibt es zwei verschiedene Elemente aus A, dern Bild gleich ist, soweit, so gut.
Aber das müssen doch nicht die x,y von oben sein? Das könnten doch zwei andere Stellen sein.
> Also ist x [mm]\not\in[/mm] (C \ D).
Das verstehe ich nicht. Ist es nicht denkbar, daß x und y verschieden sind und trotzdem beide in C [mm] \D [/mm] liegen?
> Und damit x [mm]\not\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] D
Auch wenn ich den vorausgegangenen Schritt als richtig annehme, verstehe ich die Folgerung nicht.
x könnte doch auch in A \ ( C [mm] \cup [/mm] D) liegen.
Du siehst, es ist da noch einige im Argen.
Die Voraussetzung gilt ja
> Für alle C, D Teilmenge A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D) .
Für den Beweis wirst Du hier mit ganz bestimmten Teilmengen von A arbeiten müssen. Es dürfen auch einelementige sein.
Die Idee mit dem Widerspruch ist gut.
Versuch's mal so:
Angenommen, f wäre nicht injektiv.
Dann gibt es x,y [mm] \in [/mm] A mit f(x)=f(y) und [mm] x\not=y.
[/mm]
Nun muß das Spiel mit der Voraussetzung, den Teilmengen von A, beginnen . Nimm hier mal die einelementigen Mengen, die x und y enthalten und schau, was Du damit machen kannst.
Gruß v. Angela
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> Mich persönlich würde die Folgerung (d) => (a)
> interessieren.
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Zusätzlich zur Antwort von Angela möchte ich noch folgenden Ansatz beitragen:
Zum Beweis der Injektivität von $f$ genügt es zu zeigen, dass aus [mm] $x_1\neq x_2$ [/mm] folgt, dass [mm] $f(x_1)\neq f(x_2)$.
[/mm]
Sei also [mm] $x_1\neq x_2$. [/mm] Gemäss Voraussetzung d) folgt, dass [mm] $f(\{x_1,x_2\}\backslash \{x_2\})=f(\{x_1,x_2\})\backslash f(\{x_2\})$.
[/mm]
Da aber [mm] $\red{f(x_1)\in f(\{x_1\})}=f(\{x_1,x_2\}\backslash \{x_2\})$, [/mm] jedoch [mm] $\red{f(x_2)\notin f(\{x_1\})}=f(\{x_1,x_2\})\backslash f(\{x_2\})$, [/mm] muss [mm] $f(x_1)\neq f(x_2)$ [/mm] sein, was zu zeigen war.
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