Ringschluss bei Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:46 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MrFair |
/Edit: Ich weis nicht warum, aber aus irgendeinem Grund hat mir das Forum die Fälligkeit einer Antwort gelöscht. Ich bräuchte eine Antwort bis spätestens morgen Abend :)
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über [mm] \IK [/mm] und [mm] \Phi [/mm] ein Endomorphismus über V. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) V = Kern [mm] \Phi [/mm] + Bild [mm] \Phi
[/mm]
(ii) V = Kern [mm] \Phi \oplus [/mm] Bild [mm] \Phi
[/mm]
(iii) Bild [mm] \Phi [/mm] = Bild [mm] (\Phi^2)
[/mm]
(iv) dim Bild [mm] \Phi [/mm] = dim Bild( [mm] \Phi^2) [/mm] |
Hallo! Es geht um die oben formulierte Aufgabe. Ich habe sie zu einem Großteil schon gelöst, aber da ich mich mit dem Thema noch etwas schwer tue, wäre es klasse, wenn ihr meine bisherige Bearbeitung mal kritisch überprüfen könntet.
Da man hier ja viele Äquivalenzen zeigen soll, bietet sich natürlich ein Ringschluss an.
Da (ii) [mm] \rightarrow [/mm] (i) und (iii) [mm] \rightarrow [/mm] (iv) besonders einfach zu zeigen sind, habe ich mich für folgenden "Ring" entschieden.
(i) [mm] \rightarrow [/mm] (iii) [mm] \rightarrow [/mm] (iv) [mm] \rightarrow [/mm] (ii) [mm] \rightarrow [/mm] (i)
Erstmal einige Grundeigentschaften von [mm] \Phi:
[/mm]
Da [mm] \Phi [/mm] Endomorphismus gilt also [mm] \Phi: [/mm] V -> V und V linear. (brauche ich später noch)
(i) [mm] \rightarrow [/mm] (iii):
Aus (i) folgt [mm] \Phi [/mm] bijektiv. Beweis:
Annahme: Es gäbe n Vektoren aus V [mm] {v_1, ... v_n} [/mm] die alle auf ein und den selben Vektor w abgebildet werden, mit w [mm] \not= [/mm] 0 (Nullvektor) und w [mm] \not= v_1, [/mm] ... [mm] v_n. [/mm] Also wäre [mm] \Phi [/mm] nicht injektiv. Alle anderen Vektoren aus V würden auf unterschiedliche Vektoren abgebildet. Dann:
[mm] \Phi(v_1) [/mm] = w, ..., [mm] \Phi(v_n) [/mm] = w.
Da w [mm] \not= [/mm] 0, sind die Vektoren [mm] {v_1, ... v_n} [/mm] auch alle nicht in Kern [mm] \Phi.
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] Bild [mm] \Phi [/mm] ist "maximal" [mm] V\setminus {v_1, ..., v_n} [/mm] ("maximal", da Kern [mm] \Phi [/mm] ja nicht unbedingt in Bild [mm] \Phi [/mm] liegen muss. Wie drücke ich das formal korrekt aus?)
Somit also V [mm] \not= [/mm] Kern [mm] \Phi [/mm] + Bild [mm] \Phi \rightarrow [/mm] Widerspruch zu (i)
[mm] \rightarrow \Phi [/mm] muss injektiv sein [mm] \rightarrow \Phi [/mm] ist bijektiv (da [mm] \Phi: [/mm] V -> V, [mm] \Phi [/mm] linear, V endlichdimensional ist injektiv äquivalent zu bijektiv) [mm] \rightarrow [/mm] Kern [mm] \Phi [/mm] = 0 [mm] \rightarrow [/mm] Bild [mm] \Phi [/mm] = V [mm] \rightarrow [/mm] Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] = V [mm] \righarrow [/mm] Bild [mm] \Phi [/mm] = Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] = (iii)
(iii) [mm] \rightarrow [/mm] (iv):
Da Bild [mm] \Phi [/mm] = Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] sind der Vektoraum Bild [mm] \Phi [/mm] und derVektorraum Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] identisch und somit haben sie die selbe Dimension [mm] \rightarrow [/mm] dim Bild [mm] \Phi [/mm] = dim Bild( [mm] \Phi^2) [/mm] = (iv)
(iv) [mm] \rightarrow [/mm] (ii):
Es gilt: Bild [mm] \Phi \subseteq [/mm] V
Da dim Bild [mm] \Phi [/mm] = dim Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] gilt Bild [mm] \Phi \cong [/mm] Bild [mm] (\Phi^2)
[/mm]
[mm] \rightarrow \Phi [/mm] muss ein Isomorphismus sein. Begründung: Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] wird durch Mehrfachanwendung von [mm] \Phi [/mm] erzeugt. Wäre [mm] \Phi [/mm] kein Isomorphismus, so könnten Bild [mm] \Phi [/mm] und Bild [mm] (\Phi^2) [/mm] nicht isomorph sein!
[mm] \rightarrow \Phi [/mm] ist bijektiv [mm] \rightarrow [/mm] Kern [mm] \Phi [/mm] = 0. Da [mm] \Phi [/mm] = V -> V und [mm] \Phi [/mm] bijektiv gilt Bild [mm] \Phi [/mm] = V.
[mm] \rightarrow [/mm] Kern [mm] \Phi \cap [/mm] Bild [mm] \Phi [/mm] = 0 [mm] \rightarrow [/mm] Kern [mm] \Phi [/mm] + Bild [mm] \Phi [/mm] ist direkt [mm] \rightarrow [/mm] Kern [mm] \Phi \oplus [/mm] Bild [mm] \Phi [/mm] = V (da Bild [mm] \Phi [/mm] = V) = (ii)
(ii) [mm] \rightarrow [/mm] (i):
Die direkte Summe ist nur ein "Speziallfall" der Summe zweier Vektorräume. Gilt also Kern [mm] \Phi \oplus [/mm] Bild [mm] \Phi [/mm] = V so gilt natürlich auch Kern [mm] \Phi [/mm] + Bild [mm] \Phi [/mm] = V = (i)
Das ist meine bisherige Lösung. Einige Sachen sind mir noch zu schwammig formuliert und bei (i) [mm] \rightarrow [/mm] (iii) und (iv) [mm] \rightarrow [/mm] (ii) bin ich mir nicht ganz sicher.
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir vermeidliche Fehler aufzeigen könntet. Vielen Dank schonmal im vorraus :)
/Edit:
Oh, entschuldigung, ganz vergessen! Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 15.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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