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Roationskörper um y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Fr 16.05.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie das Volumen einer Fläche um die y-Achse. Die Fläche zwischen f(x)= 2 [mm] \wurzel{x -1} [/mm] und der y-Achse im Intervall [2;4].

Hinweis
Für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse gilt:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)^2) dx} [/mm]

Moin,

gefunden habe ich...

Bei Rotation um die y-Achse muss ich 1. die Umkehrfunktion bilden und dann  gilt:

V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y)^2) dy}. [/mm]

Also

Umkehrfunktion bilden:

y = [mm] \bruch{1}{4}*x^2 [/mm] + 1

[mm] y^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] +1

davon dann die Stammfunktion bilden und die Grenzen

f(2)= 2
f(4)= [mm] 2*\wurzel{3} [/mm]

einsetzen...

Ist das richtig? Wäre das alles?

Wenn ich mir den Rotationskörper betrachte, dann erhalte ich doch eine Art Kegelstumpf, der allerdings eingedellt ist; da s ein Bogen ist. Muss ich das beachten? Wie?

Gruß
Wolfgang






        
Bezug
Roationskörper um y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 16.05.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimmen Sie das Volumen einer Fläche um die y-Achse. Die
> Fläche zwischen f(x)= 2 [mm]\wurzel{x -1}[/mm] und der y-Achse im
> Intervall [2;4].
>
> Hinweis
>  Für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse
> gilt:
>  V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{(f(x)^2) dx}[/mm]
>  Moin,
>  
> gefunden habe ich...
>
> Bei Rotation um die y-Achse muss ich 1. die Umkehrfunktion
> bilden und dann  gilt:
>  
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y)^2) dy}.[/mm]

[daumenhoch]

>  
> Also
>
> Umkehrfunktion bilden:
>  
> y = [mm]\bruch{1}{4}*x^2[/mm] + 1
>  
> [mm]y^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{16}x^4[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] +1

Korrekt

>
> davon dann die Stammfunktion bilden und die Grenzen
>
> f(2)= 2
>  f(4)= [mm]2*\wurzel{3}[/mm]

Auch korrekt

>  
> einsetzen...

Yep, das ist noch zu tun

>  
> Ist das richtig? Wäre das alles?

Yep

>
> Wenn ich mir den Rotationskörper betrachte, dann erhalte
> ich doch eine Art Kegelstumpf, der allerdings eingedellt
> ist; da s ein Bogen ist. Muss ich das beachten? Wie?

Beachte mal die Grenzen, die "Problemstelle" y=0 der Funktion [mm] 2\wurzel{x-1} [/mm] liegt ausserhalb des zu betrachtenden Intervalles, also stört ich nichts an der Berechnung des Integrales.

>  
> Gruß
>  Wolfgang
>  
>

Marius

>
>
>  


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