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Forum "Physik" - Rolle, Seil mit Masse
Rolle, Seil mit Masse < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Rolle, Seil mit Masse: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Sa 24.11.2018
Autor: nosche

Aufgabe
Zwei Körper gleicher Masse m = 50 kg seien durch ein massebehaftetes Seil über eine Umlenkrolle (vernachlässigbarer Ausdehnung) miteinander verbunden. Das Seil habe eine Länge von 20 m und eine Masse von 20 kg. Stellen Sie zunächst die Bewegungsgleichung für die Koordinate [mm] x_{1}(t) [/mm] des Körpers [mm] K_{1} [/mm] auf (siehe Skizze; [mm] x_{1} [/mm] = 0 entspricht gleicher Höhe der Körper). Lösen Sie diese durch den Ansatz [mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct} [/mm] und bestimmen Sie die Unbekannten A und B aus den beiden Anfangsbedingungen [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{10} \not= [/mm] 0 und [mm] v_{1}(0) [/mm] = [mm] v_{10} [/mm] = 0.



[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich schlage die Teilmassen des Seils den Körpern K1 und K2 zu.
Mit F als Seilkraft erhalte ich folgendes System:

F + m1*a = m1*g
F - m2*a = m2*g

dabei ist berücksichtigt, das die Körper betragsmäßig gleich aber in unterschiedliche Richtungen (m1 nach oben) beschleunigt werden.

das zugehörige GLS:

F  a  | rS
----------
1  m1  m1*g
1 -m2  m2*g

det = [mm] \vmat{ 1 & m1 \\ 1 & -m2 } [/mm] = -m1 -m2
det(a) = [mm] \vmat{ 1 & m1*g \\ 1 & m2*g } [/mm] = (m2 - m1)*g

[mm] a=\bruch{(m2 - m1)}{-m1 -m2}*g [/mm] = [mm] \bruch{m1-m2}{m1+m2}*g [/mm]

Berücksichtigen der Seilmasse ms mit der Seillänge l bei einer Auslenkung x:
[mm] m_{1} [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}-x) [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{m_{s}}{l}x [/mm]
[mm] m_{2} [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}+x) [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{m_{s}}{l}x [/mm]

[mm] m_{1} [/mm] - [mm] m_{2} [/mm] = [mm] 2\bruch{m_{s}}{l}x [/mm]
[mm] m_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] 2m+m_{s} [/mm]

[mm] a=\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*x [/mm]


nun die DGL,
[mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct} [/mm]
[mm] v(t)=\dot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c(Ae^{ct} [/mm] - [mm] Be^{-ct}) [/mm]
[mm] a(t)=\ddot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c^{2}(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm] = [mm] c^{2}x_{1}(t) [/mm]

[mm] c^{2}(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm]

für c gilt dann
[mm] c^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l} [/mm]
c = [mm] \wurzel{\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}} [/mm]

mit Einsetzen der Werte: c = 0.4043

Anfangsbedinung: [mm] v_{1}(0)=0; [/mm]
[mm] v(0)=\dot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c(Ae^{c0} [/mm] - [mm] Be^{-c0}) [/mm]
also: A=B

[mm] c^{2}A(e^{ct} [/mm] + [mm] e^{-ct}) [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*A(e^{ct} [/mm] + [mm] e^{-ct}) [/mm]

hier steht nun auf beiden Seiten das Gleiche, und ich weiß nicht wie ich die Anfangsbedingung [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{10} \not= [/mm] 0 verwenden kann.



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Rolle, Seil mit Masse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Sa 24.11.2018
Autor: HJKweseleit


> Zwei Körper gleicher Masse m = 50 kg seien durch ein
> massebehaftetes Seil über eine Umlenkrolle
> (vernachlässigbarer Ausdehnung) miteinander verbunden. Das
> Seil habe eine Länge von 20 m und eine Masse von 20 kg.
> Stellen Sie zunächst die Bewegungsgleichung für die
> Koordinate [mm]x_{1}(t)[/mm] des Körpers [mm]K_{1}[/mm] auf (siehe Skizze;
> [mm]x_{1}[/mm] = 0 entspricht gleicher Höhe der Körper). Lösen
> Sie diese durch den Ansatz [mm]x_{1}(t)[/mm] = [mm]Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct}[/mm]
> und bestimmen Sie die Unbekannten A und B aus den beiden
> Anfangsbedingungen [mm]x_{1}(0)[/mm] = [mm]x_{10} \not=[/mm] 0 und [mm]v_{1}(0)[/mm] =
> [mm]v_{10}[/mm] = 0.
>  
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich schlage die Teilmassen des Seils den Körpern K1 und K2
> zu.
>  Mit F als Seilkraft erhalte ich folgendes System:
>  
> F + m1*a = m1*g
>  F - m2*a = m2*g
>  
> dabei ist berücksichtigt, das die Körper betragsmäßig
> gleich aber in unterschiedliche Richtungen (m1 nach oben)
> beschleunigt werden.
>
> das zugehörige GLS:
>  
> F  a  | rS
>  ----------
>  1  m1  m1*g
>  1 -m2  m2*g
>  
> det = [mm]\vmat{ 1 & m1 \\ 1 & -m2 }[/mm] = -m1 -m2
>  det(a) = [mm]\vmat{ 1 & m1*g \\ 1 & m2*g }[/mm] = (m2 - m1)*g
>  
> [mm]a=\bruch{(m2 - m1)}{-m1 -m2}*g[/mm] = [mm]\bruch{m1-m2}{m1+m2}*g[/mm]
>  
> Berücksichtigen der Seilmasse ms mit der Seillänge l bei
> einer Auslenkung x:
>  [mm]m_{1}[/mm] = m + [mm]\bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}-x)[/mm] = m +
> [mm]\bruch{m_{s}}{2}[/mm] - [mm]\bruch{m_{s}}{l}x[/mm]
>  [mm]m_{2}[/mm] = m + [mm]\bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}+x)[/mm] = m +
> [mm]\bruch{m_{s}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{m_{s}}{l}x[/mm]
>  
> [mm]m_{1}[/mm] - [mm]m_{2}[/mm] = [mm]2\bruch{m_{s}}{l}x[/mm]
>  [mm]m_{1}[/mm] + [mm]m_{2}[/mm] = [mm]2m+m_{s}[/mm]
>  
> [mm]a=\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*x[/mm]

[ok]

Das geht aber viel einfacher: Sei [mm] \rho [/mm] die "Massendichte" pro Länge, also [mm] \rho [/mm] = [mm] m_{Seil}/l_{Seil} [/mm] = 1 kg/m. Dann gilt:

Beschleunigende Kraft = [mm] \rho* [/mm] Seillängenunterschied*g = [mm] \rho*2x*g [/mm]
Beschleunigte Masse = [mm] 2m+m_S [/mm]

F=m*a [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] a=\bruch{2\rho*g}{2m+m_S}x=\bruch{g}{60m}x [/mm]

>  
>
> nun die DGL,
>  [mm]x_{1}(t)[/mm] = [mm]Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct}[/mm]
> [mm]v(t)=\dot{x}_{1}(t)[/mm] = [mm]c(Ae^{ct}[/mm] - [mm]Be^{-ct})[/mm]
> [mm]a(t)=\ddot{x}_{1}(t)[/mm] = [mm]c^{2}(Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct})[/mm] =
> [mm]c^{2}x_{1}(t)[/mm]
>
> [mm]c^{2}(Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct})[/mm] =
> [mm]\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*(Ae^{ct}[/mm] +
> [mm]Be^{-ct})[/mm]
>  
> für c gilt dann
>  [mm]c^{2}[/mm] = [mm]\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}[/mm]
>  c = [mm]\wurzel{\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}}[/mm]

[ok]

>  
> mit Einsetzen der Werte: c = 0.4043
>  
> Anfangsbedinung: [mm]v_{1}(0)=0;[/mm]
>  [mm]v(0)=\dot{x}_{1}(t)[/mm] = [mm]c(Ae^{c0}[/mm] - [mm]Be^{-c0})[/mm]
>  also: A=B

[ok]

>  
> [mm]c^{2}A(e^{ct}[/mm] + [mm]e^{-ct})[/mm] =
> [mm]\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*A(e^{ct}[/mm] + [mm]e^{-ct})[/mm]
>  
> hier steht nun auf beiden Seiten das Gleiche, und ich weiß
> nicht wie ich die Anfangsbedingung [mm]x_{1}(0)[/mm] = [mm]x_{10} \not=[/mm]
> 0 verwenden kann.
>  
>  

Du hast jetzt x(t) =  [mm] A(e^{ct}+e^{-ct}) [/mm]

Es ist [mm] x(0)=2A=x_{10} [/mm] und damit [mm] A=x_{10}/2, [/mm] also

x(t) =  [mm] \bruch{x_{10}}{2}(e^{ct}+e^{-ct}) [/mm] (coshyp-Funktion)

Bezug
                
Bezug
Rolle, Seil mit Masse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:44 Mo 26.11.2018
Autor: nosche

herzlichen Dank für den finalen Zündfunken

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