Rollen eines Zylinders < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine an der Wand befestigte Feder (Federkonstante D= 5N/m) ist mit der Achse eines homogenen Zylinders der Masse m = 5 kg und Radius R verbunden. Der Zylinder kann ohne Schlupf auf der Unterlage rollen. Die Feder wurde gespannt und bewegt nun den Zylinder hin und her. Wie gross ist die Periode der Schwingung? Man gehe vor wie folgt:
(1) Stelle die Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt des Zylinders und für seine Drehbewegung auf. ( Ist Anzahl der Unbekannten und der Gleichungen gleich?)
(2) Benutze den Zusammenhang zwischen der linearen Koordinate x und dem Drehwinkel [mm] \phi, [/mm] um aus diesen Gleichungen eine Gleichung (Differentialgleichung) für x aufzustellen.
(3) Bringe diese in die Standardform x''(t) + [mm] \omega_{0} [/mm] * x(t) = 0 einer harmonischen Schwingung und bestimme die Kreisfrequenz [mm] \omega_{0} [/mm] und daraus die Periode T. |
Vorüberlegung: Würde es sich um eine reine Translation handeln (d.h. glatte Oberfläche) so wäre mit Hilfe des hookeschen Gesetzes:
D = m * [mm] \omega^{2} [/mm] = 5 N/m
<=> D/m = (m * [mm] \omega^{2} [/mm] )/m = (5 N/m)/(5kg) = [mm] \omega^{2}
[/mm]
<=> [mm] \omega [/mm] = 1/s
[mm] \omega [/mm] = 2 * [mm] \pi [/mm] * 1/T
=> [mm] 2*\pi [/mm] * 1/T = 1/s
=> T = [mm] 2*\pi [/mm] *s
Da nun das Trägheitsmoment diese Periodendauer noch verlängert, indem es der Translation konstant entgegenwirkt, muss die tatsächliche Periodendauer T also grösser sein als [mm] 2*\pi*s
[/mm]
Ich gehe zu Beginn nun aus von einer gestreckten Feder, die um die Länge l aus ihrer Ruhelage ausgelenkt ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hieraus ermittle ich die Bewegungsgleichung für die Translation in x-Richtung:
x(t) = l * cos( [mm] \omega [/mm] *t)
und die Bewegungsgleichung für die Rotation in "Richtung" des Winkels [mm] \phi [/mm] (in rad!):
[mm] \phi [/mm] (t) = l * sin( [mm] \omega [/mm] *t)
Erste Frage: Ist bis hierhin alles richtig??
und die zweite: Wie stelle ich nun eine Differentialgleichung für x aus diesen beiden Gleichungen auf?
ich versuch mein Glück weiter, hoffe jedoch das mir jemand helfen kann ;)
mfg, Cyberleon
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Cyberleon
> Eine an der Wand befestigte Feder (Federkonstante D= 5N/m)
> ist mit der Achse eines homogenen Zylinders der Masse m = 5
> kg und Radius R verbunden. Der Zylinder kann ohne Schlupf
> auf der Unterlage rollen. Die Feder wurde gespannt und
> bewegt nun den Zylinder hin und her. Wie gross ist die
> Periode der Schwingung? Man gehe vor wie folgt:
> (1) Stelle die Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt des
> Zylinders und für seine Drehbewegung auf. ( Ist Anzahl der
> Unbekannten und der Gleichungen gleich?)
> (2) Benutze den Zusammenhang zwischen der linearen
> Koordinate x und dem Drehwinkel [mm]\phi,[/mm] um aus diesen
> Gleichungen eine Gleichung (Differentialgleichung) für x
> aufzustellen.
> (3) Bringe diese in die Standardform x''(t) + [mm]\omega_{0}[/mm] *
> x(t) = 0 einer harmonischen Schwingung und bestimme die
> Kreisfrequenz [mm]\omega_{0}[/mm] und daraus die Periode T.
> Vorüberlegung: Würde es sich um eine reine Translation
> handeln (d.h. glatte Oberfläche) so wäre mit Hilfe des
> hookeschen Gesetzes:
>
> D = m * [mm]\omega^{2}[/mm] = 5 N/m
>
> <=> D/m = (m * [mm]\omega^{2}[/mm] )/m = (5 N/m)/(5kg) = [mm]\omega^{2}[/mm]
>
> <=> [mm]\omega[/mm] = 1/s
>
> [mm]\omega[/mm] = 2 * [mm]\pi[/mm] * 1/T
>
> => [mm]2*\pi[/mm] * 1/T = 1/s
>
> => T = [mm]2*\pi[/mm] *s
>
> Da nun das Trägheitsmoment diese Periodendauer noch
> verlängert, indem es der Translation konstant
> entgegenwirkt, muss die tatsächliche Periodendauer T also
> grösser sein als [mm]2*\pi*s[/mm]
Soweit richtig
> Ich gehe zu Beginn nun aus von einer gestreckten Feder, die
> um die Länge l aus ihrer Ruhelage ausgelenkt ist:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> hieraus ermittle ich die Bewegungsgleichung für die
> Translation in x-Richtung:
>
> x(t) = l * cos( [mm]\omega[/mm] *t)
Ich weiss nicht, wie du darauf kommst.Oder ist das nicht eine Herleitung, sondern eine Beschreibung der Bewegung, unter dr Vors. dass es ja ne harmonische Schwingung ist?
Bewegungsgleichung ist i.A. der Zusammenhang zwischen x''(t) und x#(t)und x(t)
ohne Rollen also x''(t)=-D/m*x(t)
Diese kann man aus dem Kraftgesetz herleiten, oder aus dem Energiesatz.
Kraftgesetz:F=-D*x und F=m*x''
Energiesatz: [mm] m/2x'^2+D/2x^2=const
[/mm]
Energiesatz differenzieren: m*x'x'''+D*xx'=0 daraus entweder x'=0 oder mx''+D*x=0 wie oben aus dem Kraftgesetz.
Mit dem Energiesatz kannst du auch die Dgl mit Rollen leichter herleiten, als mit dem Kraftgesetz, weil du beim Kraftgesetz mit dem Drehmoment bezüglich des Auflagepunktes arbeiten müsstest, dann das Trägheitsmoment nicht bezüglich der Mittelachse, sondern bezügl. des Auflagepunktes nehmen musst.
> und die Bewegungsgleichung für die Rotation in "Richtung"
> des Winkels [mm]\phi[/mm] (in rad!):
>
> [mm]\phi[/mm] (t) = l * sin( [mm]\omega[/mm] *t)
Das ist schon von der Dimension her falsch, [mm] \Phi [/mm] ist keine Länge.
es gilt [mm] x=R*\Phi! [/mm] mit [mm] \phi=0 [/mm] für x=0
> Erste Frage: Ist bis hierhin alles richtig??
> und die zweite: Wie stelle ich nun eine
> Differentialgleichung für x aus diesen beiden Gleichungen
> auf?
>
> ich versuch mein Glück weiter, hoffe jedoch das mir jemand
> helfen kann ;)
Dein Ergebnis sollte sein:
[mm] \Phi''(t)=-2D/3*\Phi(t)
[/mm]
mit [mm] x(t)=R*\Phi(t)
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Ich weiss nicht, wie du darauf kommst.Oder ist das nicht
> eine Herleitung, sondern eine Beschreibung der Bewegung,
> unter dr Vors. dass es ja ne harmonische Schwingung ist?
Ja, ich habe versucht eine Funktion zu finden, die dem Verhalten des Wertes x(t) gerecht wird - und da schien mir der Kosinus optimal
> Bewegungsgleichung ist i.A. der Zusammenhang zwischen
> x''(t) und x#(t)und x(t)
Was ist x#(t) ?
> ohne Rollen also x''(t)=-D/m*x(t)
> Diese kann man aus dem Kraftgesetz herleiten, oder aus dem
> Energiesatz.
> Kraftgesetz:F=-D*x und F=m*x''
> Energiesatz: [mm]m/2x'^2+D/2x^2=const[/mm]
> Energiesatz differenzieren: m*x'x'''+D*xx'=0 daraus
> entweder x'=0 oder mx''+D*x=0 wie oben aus dem
> Kraftgesetz.
> Mit dem Energiesatz kannst du auch die Dgl mit Rollen
> leichter herleiten, als mit dem Kraftgesetz, weil du beim
> Kraftgesetz mit dem Drehmoment bezüglich des Auflagepunktes
> arbeiten müsstest, dann das Trägheitsmoment nicht bezüglich
> der Mittelachse, sondern bezügl. des Auflagepunktes nehmen
> musst.
Ok, habe das nun nachvollzogen:
Energiesatz:
[mm] (m/2)*x'^{2} + (D/2)*x^{2} = [/mm] const
ableiten ergibt:
[mm] dx/dt (m/2)*x'^{2} + (D/2)*x^{2} = dx/dt [/mm] const
<=> [mm] m*x''*x' + D*x'*x = 0 [/mm]
genau dann Null, wenn
[mm] x' = 0 [/mm] oder wenn [mm] m*x'' + D*x =0 [/mm]
> > und die Bewegungsgleichung für die Rotation in "Richtung"
> > des Winkels [mm]\phi[/mm] (in rad!):
> >
> > [mm]\phi[/mm] (t) = l * sin( [mm]\omega[/mm] *t)
> Das ist schon von der Dimension her falsch, [mm]\Phi[/mm] ist keine
> Länge.
> es gilt [mm]x=R*\Phi![/mm] mit [mm]\phi=0[/mm] für x=0
Ok. Mit [mm] x=R*\Phi [/mm] und <ohne Rollen> x''= -(D/m)*x
bekomme ich leider nicht das gesuchte Ergebniss :( meine Rechnung:
2 mal Ableiten von
[mm] x=R*\Phi
[/mm]
(ich glaub hier liegt mein Fehler ...)
[mm] x''=R*\Phi''
[/mm]
Gleichsetzen und Kürzen von R
[mm] \Phi'' [/mm] = -(D/m) [mm] *\Phi
[/mm]
> Dein Ergebnis sollte sein:
> [mm]\Phi''(t)=-2D/3*\Phi(t)[/mm]
> mit [mm]x(t)=R*\Phi(t)[/mm]
> Gruss leduart
Also, nochmal vielen Dank für deine Hilfe, aber wie du siehst bin ich leider nicht auf das Richtige Ergebniss gekommen ... Der Fehler liegt vermutlich in meiner Ableitung, aber das kann ich nicht mit Sicherheit sagen. Ausserdem weiss ich noch immer nicht, wie die Bewegungsgleichung der Translation aufgestellt wurde (s.o.)
Aaaaah - Moment - Die Translation wurde also auf der Gleichung
[mm] m*x'' + D*x = 0 [/mm]
begründet? Ok, geschluckt ^^
Nun nurnoch das Problem mit [mm] \Phi'' [/mm] ...
mfg, und vielen Dank für die Einsicht mit dem Energiesatz,
Cyberleon :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo cyberleon
(das x# kam weil auf der Tastatur # unter' steht!)
Energiesatz :
[mm] D/2s^2+M/2v^2+I_M/2\omega^2=const [/mm] mit [mm] s=R*\Phi, v=R*\Phi', \omega=\Phi' [/mm] und [mm] I_M=m/2*R^2
[/mm]
Du hast die Rotationsenergie vergessen!!
Kraftgesetz: Drehmoment [mm] M=I*\Phi'' [/mm] wobei I aber jetzt das Trägheitsmoment bezüglich des Auflagepunktes ist , also nach Satz von Steiner [mm] I_A=mR^2+I_M
[/mm]
andererseits [mm] M=-D*s=-D*R*\Phi
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Irgendwie bekomm ich die Masse M nicht aus meinem Term rausgeworfen:
D/2 * x² + M/2 * x'² + [mm] I_{M}/2 [/mm] * [mm] \phi'² [/mm] = C
einsetzen von:
x= R* [mm] \phi [/mm] ; x'= R * [mm] \phi' [/mm] ; [mm] I_{M} [/mm] = 1/2 M*R²
ergibt:
[mm] (d\phi/dt) [/mm] [D/2 * R² * [mm] \phi² [/mm] + M/2 * R² * [mm] \phi'² [/mm] + (1/2 * M*R²)/2 * [mm] \phi'²] [/mm] = [mm] (d\phi/dt) [/mm] C
<=> D/2 * R² * 2 * [mm] \phi [/mm] * [mm] \phi' [/mm] + M/2 * R² * 2 * [mm] \phi' [/mm] * [mm] \phi'' [/mm] + 1/4 * M * R² * 2 * [mm] \phi' [/mm] * [mm] \phi'' [/mm] = 0
Kürzen von [mm] \phi' [/mm] und R² ergibt:
<=> [mm] D\phi [/mm] + M * [mm] \phi'' [/mm] + M/2 * [mm] \phi'' [/mm] = 0
Umformen ergibt:
[mm] \phi'' [/mm] = - 2/3 * D/M * [mm] \phi
[/mm]
Also habe ich ein M in meiner Lösung, das dort nichts verloren hat ... die Energie der Federkonstante ist nicht zufällig von M abhängig, so dass es D/2 * M * x² heisst, oder? dann könnte man M rauskürzen ...
-
Nichtsdestotrotz versuche ich gerade, mit deiner Lösung Aufgabenteil (3) zu bearbeiten:
[mm] \omega_{0} [/mm] = 2/3 * D = 2/3 * 5 (kg * m)/(s² * m)
=10/3 * kg / s²
Das ist meiner Meinung nach die falsche Einheit ... Omega hat immer die Einheit 1/s um damit t kompensieren zu können ( damit man z.B. bei
sin [mm] (\omega*t) [/mm] keine Einheiten innerhalb des sinus hat )
es wäre hiermit mit [mm] \omega [/mm] = 2 * [mm] \pi [/mm] * f <=> [mm] \omega [/mm] = 2 * [mm] \pi [/mm] * 1/T
T = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] 1/(\omega) [/mm] =2 * [mm] \pi [/mm] * 3/10 s²/kg
T muesste selbstverständlich die Einheit s haben, nicht s² / kg ...
ich vermute, dass meine Lösung (mit M) der tatsächlichen näher kommt, da die Masse M schonmal das überflüssige kg rauskürzt ... bleibt die Frage, wie man aus s² ein einfaches s macht ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Fr 29.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest alles richtig gemacht.
Du hast zwar den Energiesatz zur Herleitung der Dgl. benutzt, aber am Ende steht da ja kene Energie mehr, sondern [mm] \Phi''= [/mm] -2/3*D/M [mm] *\Phi [/mm] Da [mm] \phi [/mm] dimensionslos ist, muss also der Faktor bei [mm] \Phi [/mm] die Dimension [mm] 1/s^2 [/mm] haben, das hat D/M ja auch!!
und auch die normale federschwg. hat doch die Dgl x''=-D/M*x
mit der Lösung [mm] \omega^2=D/M [/mm] hier hast du jetzt eben
[mm] \omega^2=2/3*D/M [/mm] sonst alles wie bei der gewöhnlichen Schwingung!
(bei deiner richtigen und wichtigen Dimensionsbetrachtung hätte dir auffallen können, dass genau die masse im Nenner fehlt!)
Guten Rutsch und Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
|
