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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:35 Do 24.09.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Aus 3 kg Teig werden Rosinenbrötchen zu je 60 g hergestellt. Wieviele Rosinen müssen sich mindestens im Teig befinden, damit für jedes Brötchen (einzeln betrachtet!) die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 3 Rosinen enthält, mindestens 80% beträgt?
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 2 Rosinen enthält?
Das Gewicht der Rosinen ist dabei zu vernachlässigen. |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe habe ich jetzt ca. 1 Stunde nachgedacht, aber weiß absolut nicht wie ich da auf ein Ergebnis kommen soll :(
Wenn ich die Poisson Verteilung umgekehrt benutze habe ich:
[mm] P(X=0)=\bruch{\mu^{0}}{0!}*e^{-\mu}=0,2
[/mm]
Damit komme ich nach dem Logarithmieren auf 80 Rosinen, was ja irgendwie nicht sein kann, weil aus 3000g Teig 50 Brötchen zu 60g entstehen. Wenn jedes Brötchen 3 Rosinen enthalten soll, reichen 80 schon gar nicht aus...
Meine Idee war: Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Brötchen 0 Rosinen enthalten sind ist ja 0,2=20% ... oder ist das falsch?
Es ist ja besonders darauf hingewiesen, dass jedes Brötchen einzeln betrachtet werden soll. Wie soll man das denn anstellen?
Logisch überlegt, nehme ich dann 60g Teig und tue 3 Rosinen rein...
Vielen Dank schonmal für Hilfe!
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Hallo steem,
wir hatten hier vor fast einem Jahr eine Diskus-
sion zu einer Version des Rosinenproblems:
Rosinenproblem
Vielleicht guckst du einmal zuerst dort, ob du
gewisse Antworten findest, die auch auf deine
Aufgabe passen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Do 24.09.2009 | | Autor: | steem |
Diesen Link habe ich schon gesehen! Und auch schon im Netz gesucht, aber es wurde da immer nach EINER Rosine gefragt, was ja relativ einfach ist.
Aber wie ist es mit DREI Rosinen?
Und was hat es zu bedeuten, dass es in der Aufgabe heißt das jedes Brötchen einzeln zu betrachten ist?
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> Diesen Link habe ich schon gesehen!
Ich habe gerade bemerkt, dass dort ja auch auf
eine Publikation verwiesen wurde, in welcher
das Problem offensichtlich falsch behandelt
wurde, indem die Fälle "alle gebackenen
Brötchen sollen mindestens eine Rosine ent-
halten" und "ein bestimmtes herausgegriffenes
Brötchen soll mindestens eine R. enthalten"
verwechselt wurden.
> Und auch schon im Netz
> gesucht, aber es wurde da immer nach EINER Rosine gefragt,
> was ja relativ einfach ist.
>
> Aber wie ist es mit DREI Rosinen?
>
> Und was hat es zu bedeuten, dass es in der Aufgabe heißt
> das jedes Brötchen einzeln zu betrachten ist ?
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist damit
die einfachere Variante des Rosinenproblems
gemeint:
Wir greifen aus den 50 Brötchen einfach ein
bestimmtes heraus und betrachten die Wahr-
scheinlichkeit, dass dieses mindestens drei
Rosinen enthält.
Ich habe diese Wahrscheinlichkeit soeben exakt
durch n ausgedrückt, und zwar mittels der Binomial-
verteilung (jede einzelne der insgesamt n verwen-
deten Rosinen hat die W'keit [mm] p=\frac{1}{50}, [/mm] in dem
betrachteten Brötchen zu landen. Dann ist die
W'keit, dass weniger als 3 Rosinen ins betrachtete
Brötchen kommen, gleich [mm] \mathbf{binomcdf(n,\frac{1}{50},2)}
[/mm]
Dies kann man exakt durch n ausdrücken
(quadratische Funktion in n mal Exponential-
funktion von n). Die entstehende Gleichung kann
man dann allerdings nur numerisch lösen.
Ich habe erhalten, dass man mindestens 211 Rosinen
nehmen soll.
Du möchtest aber offenbar mit der Poisson-Verteilung
rechnen. Betrachte dort ebenfalls zunächst
[mm] P(X<3)=P(X\le [/mm] 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
Du kommst dann ebenfalls auf eine ähnliche
Gleichung, die nur numerisch zu lösen ist und
eine Lösung liefert, die ein paar Rosinen mehr
verlangt als bei der genaueren Rechnung nach
Binomialverteilung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 24.09.2009 | | Autor: | steem |
Vielen Dank!
Das hilft mir schon ein wenig weiter.
Ich möchte das allerdings nicht unbedingt mit Poisson lösen, zumal ich gar nicht weiß ob das überhaupt geht.
Wenn nach einer Rosine gefragt wird, geht das mit Poisson ganz gut. Aber bei mehr als einer nicht.
Ich habe etwas noch nicht nachvollziehen können.
> Dies kann man exakt durch n ausdrücken
> (quadratische Funktion in n mal Exponential-
> funktion von n). Die entstehende Gleichung kann
> man dann allerdings nur numerisch lösen.
Wie funktioniert das mit der quadratischen Funktion genau?
Und mit welchem Numerischen Verfahren kann man die Gleichung dann lösen? Runge-Kutta, Newton, oder Heun ?
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> Vielen Dank!
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> Das hilft mir schon ein wenig weiter.
>
> Ich möchte das allerdings nicht unbedingt mit Poisson
> lösen, zumal ich gar nicht weiß ob das überhaupt geht.
Es geht auch, gibt weniger zu rechnen, liefert aber
nicht ganz die optimale Lösung.
> Wenn nach einer Rosine gefragt wird, geht das mit Poisson
> ganz gut. Aber bei mehr als einer nicht.
Doch doch. Man kann dort ja auch die Wahrschein-
lichkeiten P(X=k) für k=0,1,2 nach Poisson approxi-
mieren und dann addieren.
> Ich habe etwas noch nicht nachvollziehen können.
>
> > Dies kann man exakt durch n ausdrücken
> > (quadratische Funktion in n mal Exponential-
> > funktion von n). Die entstehende Gleichung kann
> > man dann allerdings nur numerisch lösen.
>
> Wie funktioniert das mit der quadratischen Funktion genau?
Nach Binomialverteilung ist
[mm] P(X=k)=\pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}
[/mm]
Berechne dies für k=0,k=1 und k=2 und
addiere diese Terme. Dann kannst du [mm] \left(\frac{49}{50}\right)^n [/mm]
ausklammern und in der Klammer zusammenfassen.
Wie schon gesagt: mit Poisson geht's etwas leichter.
Probier beides aus: gute Übung !
> Und mit welchem Numerischen Verfahren kann man die
> Gleichung dann lösen? Runge-Kutta, Newton, oder Heun ?
Ich habe einfach einen Gleichungslöser aus dem Netz
verwendet. Es geht auch mit dem Solve-Befehl eines
Taschenrechners.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Do 24.09.2009 | | Autor: | steem |
Ich komme mit dem umstellen der Binominalformel irgendwie nicht zurecht.
> Nach Binomialverteilung ist
>
> [mm]P(X=k)=\pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}[/mm]
>
> Berechne dies für k=0,k=1 und k=2 und
> addiere diese Terme. Dann kannst du
> [mm]\left(\frac{49}{50}\right)^n[/mm]
> ausklammern und in der Klammer zusammenfassen.
Wenn ich jetzt $k=0$ einsetze habe ich
[mm]P(X=0)=\pmat{n\\0}*(\bruch{1}{50})^{k}*(\bruch{49}{50})^{n-0}[/mm]
für $k=1$
[mm]P(X=1)=\pmat{n\\1}*(\bruch{1}{50})^{k}*(\bruch{49}{50})^{n-1}[/mm]
usw.
1. Was genau muss ich da jetzt addieren? Es gibt ja keine Terme, weil das alles ein Produkt ist, oder sehe ich das falsch? Und ausrechnen geht auch nicht, weil das $n$ ja noch unbekannt ist.
2. Wie kriege ich das $n$ aus der Klamnmer raus? Man kann kann ja auch [mm] \pmat{n\\k} [/mm] als Bruch schreiben [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] aber der lässt sich nicht nach $n$ umstellen.
3. Wie fange ich überhaupt an das umzustellen? Ich würde es logarithmieren, aber dann ist der Bruch [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] im Logarithmus, was auch nicht weiter hilft. Ich kann doch auch nicht die Binominalverteilung so schreiben: [mm] \pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}=0 [/mm] oder etwa doch?
4. Wann und wo kann ich dann $ [mm] \left(\frac{49}{50}\right)^n [/mm] $ ausklammern?
Ich hoffe das sind nicht zu viele Fragen auf einmal :)
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> Ich komme mit dem umstellen der Binominalformel irgendwie
> nicht zurecht.
>
> > Nach Binomialverteilung ist
> >
> > [mm]P(X=k)=\pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}[/mm]
> >
> > Berechne dies für k=0,k=1 und k=2 und
> > addiere diese Terme. Dann kannst du
> > [mm]\left(\frac{49}{50}\right)^n[/mm]
> > ausklammern und in der Klammer zusammenfassen.
>
> Wenn ich jetzt [mm]k=0[/mm] einsetze habe ich
>
> [mm]P(X=0)=\pmat{n\\0}*(\bruch{1}{50})^{k}*(\bruch{49}{50})^{n-0}[/mm]
>
> für [mm]k=1[/mm]
>
> [mm]P(X=1)=\pmat{n\\1}*(\bruch{1}{50})^{k}*(\bruch{49}{50})^{n-1}[/mm]
> usw.
>
> 1. Was genau muss ich da jetzt addieren? Es gibt ja keine
> Terme, weil das alles ein Produkt ist, oder sehe ich das
> falsch? Und ausrechnen geht auch nicht, weil das [mm]n[/mm] ja noch
> unbekannt ist.
>
> 2. Wie kriege ich das [mm]n[/mm] aus der Klamnmer raus? Man kann
> kann ja auch [mm]\pmat{n\\k}[/mm] als Bruch schreiben
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] aber der lässt sich nicht nach [mm]n[/mm]
> umstellen.
>
> 3. Wie fange ich überhaupt an das umzustellen? Ich würde
> es logarithmieren, aber dann ist der Bruch
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] im Logarithmus, was auch nicht weiter
> hilft. Ich kann doch auch nicht die Binominalverteilung so
> schreiben: [mm]\pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}=0[/mm] oder etwa doch?
>
> 4. Wann und wo kann ich dann [mm]\left(\frac{49}{50}\right)^n[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ausklammern?
>
> Ich hoffe das sind nicht zu viele Fragen auf einmal :)
>
$\ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$\ =\pmat{n\\0}*\left(\bruch{1}{50}\right)^0*\left(\bruch{49}{50}\right)^n+\pmat{n\\1}*\left(\bruch{1}{50}\right)^1*\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-1}+\pmat{n\\2}*\left(\bruch{1}{50}\right)^2*\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2}$
$\ =1*1*\left(\bruch{49}{50}\right)^n+n*\bruch{1}{50}*\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-1}+\frac{n*(n-1)}{2}*\left(\bruch{1}{50}\right)^2*\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2}$
$\ =\left(\bruch{49}{50}\right)^n*\left[1+\bruch{n}{49}+\frac{n^2-n}{2*49^2}\right]$
$\ =\left(\bruch{49}{50}\right)^n*\frac{1}{2*49^2}*\left[\ .............\ ]$
Wie schon gesagt, ein bisschen mühsam ist es schon ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 25.09.2009 | | Autor: | steem |
Ich habe mal wieder eine Frage :)
> [mm]\ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)[/mm]
>
$ \ [mm] =1\cdot{}1\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^n+n\cdot{}\bruch{1}{50}\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-1}+\frac{n\cdot{}(n-1)}{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{50}\right)^2\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2} [/mm] $
Wie kommst du im 3ten Term auf diesen Ausdruck?
[mm] \frac{n\cdot{}(n-1)}{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{50}\right)^2\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2}
[/mm]
Weil eigentlich ist
[mm] \pmat{n\\2} [/mm] umgeschrieben ja [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] und da weiß ich nicht wie man das umwandeln kann?
Und wo sind beim ausklammern von [mm] (\bruch{49}{50})^{n-k} [/mm] die $-k $ geblieben?
$ \ [mm] =\left(\bruch{49}{50}\right)^n\cdot{}\left[1+\bruch{n}{49}+\frac{n^2-n}{2\cdot{}49^2}\right] [/mm] $
Am meisten würde mir der komplette weg helfen. Wenn es zu umständlich ist einzutippen auch in eingescannter Form. Oder einfach eine Binominalverteilungsformel z.B. $P(X=2)$ nach $n$ umgestellt.
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> Ich habe mal wieder eine Frage :)
>
>
> > [mm]\ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)[/mm]
> >
> [mm]\ =1\cdot{}1\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^n+n\cdot{}\bruch{1}{50}\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-1}+\frac{n\cdot{}(n-1)}{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{50}\right)^2\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2}[/mm]
>
> Wie kommst du im 3ten Term auf diesen Ausdruck?
>
> [mm]\frac{n\cdot{}(n-1)}{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{50}\right)^2\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2}[/mm]
>
> Weil eigentlich ist
> [mm]\pmat{n\\2}[/mm] umgeschrieben ja [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] und da
> weiß ich nicht wie man das umwandeln kann?
Für den dritten Term ist k=2. Setze dies ein und kürze dann.
Fakultäten kann man oft sehr weitgehend kürzen !
> Und wo sind beim ausklammern von [mm](\bruch{49}{50})^{n-k}[/mm] die
> [mm]-k[/mm] geblieben?
> [mm]\ =\left(\bruch{49}{50}\right)^n\cdot{}\left[1+\bruch{n}{49}+\frac{n^2-n}{2\cdot{}49^2}\right][/mm]
Mal nur der Term mit k=2:
[mm] $\frac{n\cdot{}(n-1)}{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{50}\right)^2\cdot{}\left(\bruch{49}{50}\right)^{n-2}\ [/mm] =\ [mm] \left(\bruch{49}{50}\right)^{n}*\frac{n^2-n}{2}\cdot{}\bruch{1}{50^2}\cdot{}\bruch{49^{-2}}{50^{-2}}\ [/mm] =\ [mm] \left(\bruch{49}{50}\right)^{n}*\frac{n^2-n}{2\cdot{}49^2}$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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