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| Aufgabe | Zwei Kugeln mit der Masse m und dem Radius r (Trägheitsmoment siehe Aufgabe 2 (J= [mm] \bruch{2}{5}mr^2)) [/mm] sind einander gegenüber an einer (masselosen) rotierenden Stange in einer Entfernung L vom Drehpunkt der Stange angebracht. Die Stange rotiere zunächst mit der Winkelgeschwindigkeit [mm] w_{1}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit [mm] w_{2} [/mm] die sich ergibt, wenn man beide Kugeln während der Drehung auf die Entfernung 2L vom Drehpunkt auf der Stange nach außen rutscht!
b) Vergleichen Sie die Rotationsenergien vor und nach dem nach außen Rutschen und interpretieren Sie das Ergebnis! |
Hallo zusammen!
Also hier handelt es sich um eine Art Hantel, die man in der Mitte der Stange aufhängt um sie um diesen Mittelpunkt rotieren zu lassen.
Als Ansatz wähle ich für a):
[mm] (w_{1})^2 [/mm] = [mm] (\bruch{v}{L})^2 \gdw (\bruch{v}{w_{1}})^2 [/mm] = [mm] L^2
[/mm]
Jetzt kann ich´s auf die doppelte Länge umsetzten:
[mm] \Rightarrow (2L)^2 [/mm] = [mm] (\bruch{v}{w_{2}})^2 \gdw (w_{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{v^2}{4L^2} \Rightarrow w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \bruch{v}{L}
[/mm]
A: [mm] w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{w_{1}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{v}{2L} [/mm] M.a.W. [mm] w_{2} [/mm] ist einhalb [mm] w_{1}
[/mm]
A. Anfang, E. Ende.
[mm] E_{Rot_{A}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(I_{1}+mL^2)(w_{1}^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{2}{5}mL^2+mL^2)(\bruch{v_{A}}{L})^2 =\bruch{7}{10}mL^2)(\bruch{v_{A}}{L})^2 [/mm] = [mm] (\bruch{7}{10}mv_{A}^2
[/mm]
[mm] E_{Rot_{E}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(I_{2}+m(2L)^2)(w_{2}^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{2}{5}m(2L)^2+m(2L)^2)(\bruch{v_{E}}{2L})^2 [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}m4L^2)(\bruch{v_{E}}{2L})^2 [/mm] = [mm] (\bruch{7}{10}m2v_{E}^2
[/mm]
Nach dem Energieerhaltungssatz muss:
[mm] E_{Rot_{A}} [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}mv_{A}^2 [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}m2v_{E}^2
[/mm]
= [mm] E_{Rot_{E}} [/mm] gelten.
[mm] \Rightarrow v_{A}^2 [/mm] = [mm] 2v_{E}^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{A} [/mm] = [mm] \wurzel{2}v_{E}
[/mm]
In a) habe ich aber [mm] w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}w_{1} [/mm] rausbekommen. Das widerspricht sich doch. Die Bahngeschwindigkeit v müsste doch gleichbleiben, nicht?
Viele Grüße
Semi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie wär es, wenn du mal an den Drehimpuls denkst? kannsich der beim nach draussen rutschen ändern? Warum denkst su sollte der Energieerhaltungddatz gelten?
Was soll dien gleichbleibendes v denn sein und warum sollte es gleich bleiben?
Weiter, das Trägheitsmoment der Kugeln ist nicht [mm] 2/5mL^2 [/mm] sondern [mm] 2/5mr^2
[/mm]
Also überleg doch mal genauer und auf jeden Fall begründe jeden Schritt, wenigstens vor dir selbst.
Überleg dabei, muss man kraft aufwenden um die kugeln nach aussen zu schieben, oder sie wieder nach innen zu schieben, was tuns sie, wenn sie einfach lose auf der stange sitzen von alleine?
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Rerechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit [mm] w_{2} [/mm] die sich ergibt, wenn man beide Kugeln während der Drehung auf die Entfernung 2L vom Drehpunkt auf der Stange nach außen rutscht. |
Hallo zusammen,
ich gehe, weil nichts sonst in der Aufgabenstellung vermerkt, davon aus, dass das nach außen rutschen keine Energie verbraucht.
Wegen der Notation benenne ich den Radius L in R um. Also nach außen rutschen von R auf 2R.
Verwendete Formeln: [mm] |\vec{L}| [/mm] = [mm] m\vec{r} \times \vec{v} [/mm] , [mm] w=\bruch{\vec{v}}{\vec{r}}
[/mm]
1) Ich gehe davon aus, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, da es sich um ein isoliertes System handelt.
2) [mm] |\vec{L}| [/mm] steigt mit größerer Masse, größerem Abstand sowie größerer Geschwindigkeit
Ansatz über Drehimpuls:
[mm] |\vec{L_{1}}| [/mm] = [mm] m\*|\vec{R_{1}}| \times \vec{v_{1}} \overbrace{=}^{wg 1)} m\*|\vec{R_{2}}| \times \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] |\vec{L_{2}}|
[/mm]
[mm] m\*|\vec{R_{1}}| \times \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] m\*|\vec{R_{2}}| \times \vec{v_{2}}
[/mm]
[mm] \overbrace{\Rightarrow}^{(\*\bruch{1}{m})} |\vec{R_{1}}| \times \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] |\vec{R_{2}}| \times \vec{v_{2}}
[/mm]
[mm] \gdw |\vec{R_{1}}| \times \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] |\vec{2R_{1}}| \times \vec{v_{2}} [/mm] : [mm] \vec{R_{2}} [/mm] = [mm] 2\vec{R_{1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{R_{1}}\*\vec{v_{2}}\*sin(\alpha) [/mm] = [mm] \vec{2R_{1}}\*\vec{v_{1}}\*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\vec{v_{2}} [/mm] = [mm] \vec{v_{1}}
[/mm]
Wegen: w [mm] =\bruch{v}{r} \gdw w\*r [/mm] = v gilt:
[mm] 2w_{2}R_{2} [/mm] = [mm] w_{1}R_{1} \gdw w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{w_{1}\*R_{1}}{2\*R_{2}} \gdw w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{w_{1}\*R_{1}}{4\*R_{1}} \gdw w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{w_{1}}{4}
[/mm]
Bei Verlängerung des Radius um den Faktor 2 ist [mm] w_{2} [/mm] noch ein Viertel der ursprünglichen Winkelgeschwindigkeit.
Bitte um Korrektur.
Vielen Dank und einen schönen Ostermontag
Semi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mo 25.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn gesagt würde, die masse rutscht an einem vertikalen _stab nach unten und du sollst was ausrechnen, sagst du dann auch, die Energie bleibt erhalten, weil nichts anderes da steht?
Drehimpuls ist Trägheitsmoment *Winkelgeschwindigkeit du hast mit einer Punktmasse gerechnet. da die geschw. innen und aussen senkrecht zum radius ist, brauchst du nur Beträge
da du Energie nicht verwendet hast ist nur das falsch.
also mach dich erst mal über drehimpuls eines Körpers schlau.
dann beantwort die frage im letzten post. kraft um es nach draussen rutschen zu lassen oder zu stoppen.
gruss leduart
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Hi,
stimmt. Ich habe mit Massepunkten gerechnet....
Ich habe bei Wikipedia zum Drehimpuls nachgelesen. Hier steht:
"Betrag und Richtung des Drehimpuls hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts ändert sich der Vektor jedes Ortes in [mm] \vec{x´} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{\alpha} [/mm] und der Drehimpuls in [mm] \vec{L´} [/mm] = [mm] \vec{L} [/mm] + [mm] \vec{\alpa} \times \vec{p}. [/mm] "
Ich bin mir recht sicher, dass wenn ich hier noch zu meinem Ansatz den Drehimpuls der Masse(n) [mm] \vec{L_{M}} [/mm] = [mm] w\*I =w\* \bruch{2}{5}mr^2 [/mm] dazuaddiere, dass ich damit rechnen können sollte.
Allerdings komme ich noch überhaupt nicht mit der Verschiebung der Massen klar. Die erste Formel die mir da einfällt ist [mm] F_{z} [/mm] = [mm] m\* \bruch{v^2}{r}, [/mm] die Zentripedalkraft. Diese könnte ich mit 1/r erweitern um w zu erhalten, was ich dann mit dem Trägheitsmoment und dem Satz von Steiner als (Eigen)Rotationsenergie der Masse(n) angeben könnte (hätte dann ein Omega aber auch ein restliches r...) Weiß nicht, ob mir das so viel weiterhilft.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Di 26.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die zentrifugalkraft heisst doch, dass die kugeln von alleine nach aussen ruttschen, wenn sie langsam rutschen sollen obzw bei 2R stehen bleiben, musst du sie bremsen. die Tips von mit liefen darauf raus, dass du den Energiesatz nicht anwenden kannst, wenn du nicht noch ne geschwindigkeit längs der Stange ausrechnen willst (was du nicht sollst, da es ja nicht verlangt ist.) also kannst du nur den Drehimpulssatz benutzen, der drehimpuls ändert sich durch eine kraft in stangenrichtung nicht.
jetzt hab ich dir schon die Erklärung für den 2. ten Teil geliefert!
Gruss leduart
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Ok, danke. Damit ist klar, dass die Energie im Teil 2 gleich bleibt.
Dann passt mein Ansatz ja doch und ich muss denselben nochmal für den Körper machen und dazuaddieren. Dann behandel ich das doch einfach wie zwei Koordinatensysteme. Damit decke ich doch auf einfache Art die Bewegung der Kugel(n) auf der Bahn ab und zusätzlich die Eigenrotation der Kugel die zu Beginn die Winkelgeschwindigkeit des Gesamtsystems hat und zum Schluss die [mm] w_{2} [/mm] die Winkelgeschwindigkeit des veränderten Systems.
Klar ist auch, dass wenn ich über Energien gehen würde, dass ich dann die Kugeln mit [mm] F_{z} [/mm] auf der Bahn halten würde und das hinausrutschen durch eine Verringerung der [mm] F_{z} [/mm] erreicht werden würde.
(Gedankenspielerei):
Angenommen es wäre ein Looping der vertikal steht, dann kann ich hier als Vergleichsgröße [mm] F_{g} [/mm] nehmen um mir zum Bsp [mm] \vec{v} [/mm] auszurechnen. Ich habe gestern abend nachgedacht aber ich komme leider nicht drauf, welche Vergleichsgröße ich bei solch einem horizentalen Looping verwenden könnte. Die Zentrifugalkraft / Zentripedalkraft ist zwar betragsmäßig gleich, Formelmäßig bringt sie aber nichts....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 28.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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