Rotation Torus < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Fr 19.09.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | also die Funktion [mm] f(x)=b+\wurzel{r^2-x^2} f(x)=b-\wurzel{r^2-x^2}
[/mm]
rotiert um die x achse,dabei entsteht ein Torus.Berechnen sie das Volumen
Endergebniss muss Lauten [mm] V=2*pi^2*b*r^2
[/mm]
[mm] V=4*pi*b*\integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^2-x^2} dx} [/mm] |
der Ansatz ist
[mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{(b+\wurzel{r^2-x^2})^2dx}-pi*\integral_{-r}^{r}{(b-\wurzel{r^2-x^2})^2dx}-
[/mm]
dies kann man ja in ein Integralschreiben
dan wäre es [mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{((b+\wurzel{r^2-x^2})-(b-\wurzel{r^2-x^2}))^2dx}'
[/mm]
NUn muss ich ja die binomische Formel verwenden
[mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{(b+\wurzel{r^2-x^2})^2- 2((b+\wurzel{r^2-x^2})*(b-\wurzel{r^2-x^2} )+(b-\wurzel{r^2-x^2})^2dx}
[/mm]
soweitr richtig oder?
nun muss ich die binomische Formel ja noch mal anwenden das führt dan zu..
[mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{b^ 2 +2b*\wurzel{r^2-x^2}+(r^2-x^2)-2((b+\wurzel{r^2-x^2})*(b-\wurzel{r^2-x^2} )+b^2-2*b*\wurzel{r^2-x^2}+(r^2-x^2) dx}
[/mm]
auch noch richtig???
nun lassen sich einige dinge zusammenfssen
[mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{2b^2+2(r^2-x^2)-2(b^2-b*\wurzel{r^2-x^2}+b*\wurzel{r^2-x^2}-(r^2-x^2))dx}
[/mm]
IST AUCH RICHTIG AUFGELÖST ODER?
nun wird daraus [mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{2b^2+b(r^2-x^2)-2(b^2-(r^2-x^2)) dx}
[/mm]
und nun wirds zu
[mm] V=pi*\integral_{-r}^{r}{0+4(r^2-x^2) dx}
[/mm]
und das kann mans chreben zu
[mm] V=4pi*\integral_{-r}^{r}{r^2-x^2 dx}
[/mm]
schön und gut aber irgendwo muss ein Fehler sein, da das Ergebniss
[mm] V=2pi^2*b*r^2
[/mm]
lauten muss und ich muss irgendwie auf [mm] V=4*pi*b\integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^2-x^2} dx} [/mm] kommen somit hätte ich dan V
aber wie man sieht hab ich ein falsches Integrall und finde einfach den Fehler nicht...kan mir jemand bitte auf die sprünge helfen?? danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robert!
> NUn muss ich ja die binomische Formel verwenden
>[mm]V=pi*\integral_{-r}^{r}{(b+\wurzel{r^2-x^2})^2- 2((b+\wurzel{r^2-x^2})*(b-\wurzel{r^2-x^2} )+(b-\wurzel{r^2-x^2})^2dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst Du darauf?
[mm] $$\left(b+\wurzel{r^2-x^2} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] b^2+2*b*\wurzel{r^2-x^2}+\left( \ \wurzel{r^2-x^2} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] b^2+2*b*\wurzel{r^2-x^2}+r^2-x^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 19.09.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | jaaa okayy der Fehler ist eben nur beim aufschreiben geschehen ich habe es verbessert,aber ich habe richtig weitergerechnet also das ist nicht der fehler...weil ich hab ja normal weitergerechnet nur eben falsch vom heft abgeschrieben also vertippt...
deshalb muss es irgendwo noch ein fehler geben... |
hmmm siehe oben
ich hatte mich nur vertippt...aber richtig weitergerechnet...also wo kann den der fehler noch liegen ich finde es einfach nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robert!
Wenn Du aber die andere binomische Formel analog ausrechnest und anschließend zusammenfasst, kommt man exakt auf den gewünschten Ausdruck im Integral [mm] $4b*\wurzel{r^2-x^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 19.09.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | hmm ja danke...hmm dass ich zu dem Integrall komme weiss ich...also ich sollte zumidnestens auf den Integrall kommen allerdings...habe ich doch überall die binomische Formell verwendet und dan anschließend vereinfacht und bin zu waskomplett anderem gekommen.......
irgendwo ist ein fehler und diesen fehler finde ich die ganze zeit nicht.. |
hmmm......oder was meinstd u mit analog???ist doch so gemacht worden oder nicht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robert!
$$ [mm] \left(b+\wurzel{r^2-x^2} \ \right)^2-\left(b-\wurzel{r^2-x^2} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(b^2+2\cdot{}b\cdot{}\wurzel{r^2-x^2}+r^2-x^2\right) [/mm] - [mm] \left(b^2-2\cdot{}b\cdot{}\wurzel{r^2-x^2}+r^2-x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] b^2+2\cdot{}b\cdot{}\wurzel{r^2-x^2}+r^2-x^2 [/mm] - [mm] b^2+2\cdot{}b\cdot{}\wurzel{r^2-x^2}-r^2+x^2 [/mm] \ = \ [mm] 4\cdot{}b\cdot{}\wurzel{r^2-x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Fr 19.09.2008 | | Autor: | robertl |
mmmmmmmm...........
also wenn mans so betrachtet leuchtet es ein.........hmm ich habe zu kompliziert gedacht erst mal alles zusammen gefasst dan bin. formel hmmm okay ich hab zwar mein fehler von oben nciht gefunden aber wieso schwer ..wenns auch einfach geht ne ;)
hmm auf jeden fall danke........
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