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| Aufgabe | Das Vektorfeld [mm] $\vec{v} [/mm] : [mm] \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ [/mm] sei gegeben durch
$$
[mm] \vec{v}(x, [/mm] y, [mm] z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y} \\ {-x} \\ {0}\end{array}\right)
[/mm]
$$
Bestimmen Sie die Rotation von [mm] $\vec{v}$ [/mm] (in kartesischen Koordinaten). |
Guten Abend, ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht zurecht, könnte mir Jemand helfen?
Hier mein bisheriger kläglicher Versuch
[mm] $rot(\vec{v}) [/mm] = [mm] rot\left( \left(\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+y\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-x\\ \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{matrix}\right)\right) [/mm] = [mm] \left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial y} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} - \frac{\partial }{\partial z} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x) \\ \frac{\partial }{\partial z} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y - \frac{\partial }{\partial x} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{\partial }{\partial x} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x - \frac{\partial }{\partial y}( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y) \end{matrix}\right) [/mm] = [mm] \left(\begin{matrix}0\\0\\-2\end{matrix}\right) [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Fr 14.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Das Vektorfeld [mm]\vec{v} : \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}[/mm]
> sei gegeben durch
>
> [mm][/mm]
> [mm]\vec{v}(x,[/mm] y,
> [mm]z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y} \\ {-x} \\ {0}\end{array}\right)[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Bestimmen Sie die Rotation von [mm]\vec{v}[/mm] (in kartesischen
> Koordinaten).
> Guten Abend, ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht
> zurecht, könnte mir Jemand helfen?
>
> Hier mein bisheriger kläglicher Versuch
>
>
> [mm]rot(\vec{v}) = rot\left( \left(\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+y\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-x\\ \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{matrix}\right)\right) = \left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial y} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} - \frac{\partial }{\partial z} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x) \\ \frac{\partial }{\partial z} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y - \frac{\partial }{\partial x} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{\partial }{\partial x} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x - \frac{\partial }{\partial y}( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0\\0\\-2\end{matrix}\right)[/mm]
>
>
Wo ist Dein Problem? Es stimmt doch alles. Vor dem letzten = fehlen einige Klammern
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| Aufgabe | | Schreiben Sie nun [mm] $\vec{v}$ [/mm] in Kugelkoordinaten. Berechnen Sie anschließend rot und vergleichen Sie ihr Ergebnis. |
Hallo, ich musste meine alte Frage einmal ergänzen, denn ich habe hier Probleme denn ich weiß nicht wie ich die Kugelkoordinaten bestimmen soll.
Ich weiß dass gilt [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, [/mm] $x=r [mm] \sin (\theta) \cos (\phi)$, [/mm] $y=r [mm] \sin (\theta) \sin (\phi)$ [/mm] und $z=r [mm] \cos (\theta)$. [/mm] Damit folgt dann
[mm] $\vec{v}=\frac{1}{r}\left[\begin{array}{c}{r \sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{-r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta) \cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {\sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {\cos (\theta)}\end{array}\right]+r \sin (\theta)\left[\begin{array}{c}{\sin (\phi)} \\ {-\cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right]$
[/mm]
Aber wie geht es nun weiter?
Ich muss ja irgendwie diese Formel hier nutze:
[mm] $\begin{aligned} \operatorname{rot} \vec{v}=& \frac{1}{r \sin (\theta)}\left(\frac{\partial\left(v_{\phi} \sin (\theta)\right)}{\partial \theta}-\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \phi}\right) \vec{e}_{r}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\left(r v_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{\partial v_{r}}{\partial \theta}\right) \vec{e}_{\phi} \\ &+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin (\theta)} \frac{\partial v_{r}}{\partial \phi}-\frac{\partial\left(r v_{\phi}\right)}{\partial r}\right) \vec{e}_{\theta} \end{aligned}$
[/mm]
Oder liege ich da falsch?
LG
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Sa 15.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Schreiben Sie nun [mm]\vec{v}[/mm] in Kugelkoordinaten. Berechnen
> Sie anschließend rot und vergleichen Sie ihr Ergebnis.
> Hallo, ich musste meine alte Frage einmal ergänzen, denn
> ich habe hier Probleme denn ich weiß nicht wie ich die
> Kugelkoordinaten bestimmen soll.
>
> Ich weiß dass gilt [mm]r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/mm], [mm]x=r \sin (\theta) \cos (\phi)[/mm],
> [mm]y=r \sin (\theta) \sin (\phi)[/mm] und [mm]z=r \cos (\theta)[/mm]. Damit
> folgt dann
>
> [mm]\vec{v}=\frac{1}{r}\left[\begin{array}{c}{r \sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{-r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta) \cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {\sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {\cos (\theta)}\end{array}\right]+r \sin (\theta)\left[\begin{array}{c}{\sin (\phi)} \\ {-\cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right][/mm]
>
> Aber wie geht es nun weiter?
>
> Ich muss ja irgendwie diese Formel hier nutze:
>
> [mm]\begin{aligned} \operatorname{rot} \vec{v}=& \frac{1}{r \sin (\theta)}\left(\frac{\partial\left(v_{\phi} \sin (\theta)\right)}{\partial \theta}-\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \phi}\right) \vec{e}_{r}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\left(r v_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{\partial v_{r}}{\partial \theta}\right) \vec{e}_{\phi} \\ &+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin (\theta)} \frac{\partial v_{r}}{\partial \phi}-\frac{\partial\left(r v_{\phi}\right)}{\partial r}\right) \vec{e}_{\theta} \end{aligned}[/mm]
>
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> Oder liege ich da falsch?
Nein. Nimm die Formel und rechne.
>
> LG
> Christian
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Hallo fred97,
aber wie soll ich damit denn rechnen? Was ist denn [mm] $U_{\gamma}$ [/mm] oder [mm] $\vec{e}_{\phi}$?
[/mm]
Sorry für die doofe Frage, aber ich muss doch vorher irgendwie umformen oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 17.06.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 18.06.2019 | | Autor: | Chris84 |
Huhu
Die [mm] $\vec{e}_r$, $\vec{e}_{\theta}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_{\varphi}$ [/mm] sind die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten.
[mm] $v_r$,... [/mm] sind die Koordinaten in Kugelkoordinaten. In kartesischen Koordinaten gilt zum Beispiel
[mm] $\vec{v}=v_x \vec{e}_x+v_x \vec{e}_y+v_y \vec{e}_z$
[/mm]
Genauso gilt in Kugelkoordinaten:
[mm] $\vec{v}=v_r \vec{e}_r+v_{\varphi} \vec{e}_{\varphi}+v_{\theta} \vec{e}_{\theta}$
[/mm]
Also bringe dein [mm] $\vec{v}$ [/mm] zuerst in diese Form, dann kannst du die Rotationsformel benutzen.
Gruss,
Chris
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