Rotation des Koordinatensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 03.02.2008 | | Autor: | lungo |
Gegeben ist eine Menge von Punkten [mm] P_{i}, [/mm] die auf einer Ebene im Raum liegen. Von dieser Ebene habe ich den Ebenennormalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] berechnet.
Ziel ist es nun, das Koordinatensystem so zu drehen, dass die Ebene im Raum im transformierten Koordinatensystem orthogonal zur xy-Ebene steht. Die z-Achse des transformierten Koordinatensystems wird dann "parallel" zur Normalen der Ebene.
Nun kann man ja ein System mit der Standardbasis (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) in ein System (v1,v2,v3) (w1,w2,w3) (n1,n2,n3) mit folgender Matrix transformieren:
M = [mm] \begin{pmatrix} v_1 & w_1 & n_1 \\ v_2 & w_2 & n_2 \\ v_3 & w_3 & n_3 \end{pmatrix}
[/mm]
Wobei v,w und n orthogonal und normiert sein müssen. Zusätzlich zu n berechne ich noch v und w, so dass sie normiert und auf n und aufeinander senkrecht stehen:
[mm] \vec{w}=P_{2} [/mm] - [mm] P_{1}
[/mm]
(zwei beliebige Punkte auf der Ebene gewählt -> w liegt in der Ebene)
[mm] \vec{v}= \vec{w}\cdot\vec{n}
[/mm]
(v liegt in der Ebene und ist rechtwinklig zu w und n)
[mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \frac{\vec{w}}{\mid \vec{w} \mid }
[/mm]
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \frac{\vec{v}}{\mid \vec{v} \mid }
[/mm]
(normieren)
Ist die Berechnung von v und w bzw. der Transformationsmatrix soweit korrekt?
Nun möchte ich beliebige Punkte wie folgt in das neue System transformieren:
[mm] P^{'} =[P_{x} P_{y} P_{z}]*M
[/mm]
Diese Punkte sollten dann alle orthogonal auf der "ursprünglichen" Ebene liegen, weil das Koordinatensystem entsprechend gedreht wurde. Korrekt?
Ich kann mir die Transformation bildlich nicht so recht vorstellen. Wenn ich jetzt mehrere Punkte transformiere, dann sollten diese im neuen System noch immer gleich zueindander liegen (gleiche Abstände bzw. die Form beibehalten). Auch möchte ich keine Spiegelung.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Ein Teil dieser Aufgabe (Berechnung Ebenennormlenvektor) wurde bereits ![[]](/images/popup.gif) hier diskutiert. Die Rotation blieb jedoch unbeantwortet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 So 03.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ist die Berechnung von v und w bzw. der
> Transformationsmatrix soweit korrekt?
Ja.
> Nun möchte ich beliebige Punkte wie folgt in das neue
> System transformieren:
> [mm]P^{'} =[P_{x} P_{y} P_{z}]*M[/mm]
> Diese Punkte sollten dann
> alle orthogonal auf der "ursprünglichen" Ebene liegen, weil
> das Koordinatensystem entsprechend gedreht wurde. Korrekt?
Was meinst du damit? Außerdem wunder mich deine Notation: ich würde [m]P'=M*P[/m] erwarten.
> Ich kann mir die Transformation bildlich nicht so recht
> vorstellen. Wenn ich jetzt mehrere Punkte transformiere,
> dann sollten diese im neuen System noch immer gleich
> zueindander liegen (gleiche Abstände bzw. die Form
> beibehalten).
Ja.
> Auch möchte ich keine Spiegelung.
Wieso denn? Falls [m]det(M)=1[/m] hast du bloß Rotationen ... (bzw: zwei Spiegelungen sind eine Drehung). Das heisst im Zweifel einfach das Vorzeichen eines Vektors kippen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 03.02.2008 | | Autor: | lungo |
Erstmal danke für die prompte Antwort!
> > Nun möchte ich beliebige Punkte wie folgt in das neue
> > System transformieren:
> > [mm]P^{'} =[P_{x} P_{y} P_{z}]*M[/mm]
> > Diese Punkte sollten dann
> > alle orthogonal auf der "ursprünglichen" Ebene liegen, weil
> > das Koordinatensystem entsprechend gedreht wurde. Korrekt?
>
> Was meinst du damit? Außerdem wunder mich deine Notation:
> ich würde [m]P'=M*P[/m] erwarten.
Ich hätte eigentlich auch [m]P'=M*P[/m] erwartet, dabei kommt aber nicht das gewünschte Resultat heraus.
Mein Ziel ist es ja, das Koordinatensystem so zu drehen, dass die Ebene nach der Transformation orthogonal zur xy-Ebene des neuen Koordinatensystem liegt. Das heisst, das jeder Punkt auf der Ebene denselben Abstand zur xy-Ebene des des Koordinatensystems hat.
Ich hab das mal in MatLab ausprobiert und kommentiert:
| 1: |
| | 2: | function f = transform()
| | 3: |
| | 4: | %Punkte P_i , welche auf einer Ebene liegen
| | 5: | x = [21.4435 3.8097 8.6885 -2.8570 -7.9894 -10.3775 4.8953];
| | 6: | y = [5.0538 14.9123 8.5452 11.0301 15.9783 2.2796 -0.0000];
| | 7: | z = [9.5212 7.5018 9.5420 9.8359 8.4019 14.2481 13.4493];
| | 8: |
| | 9: | %Grafische Darstellung
| | 10: | figure;
| | 11: | hold on;
| | 12: | grid on;
| | 13: | axis equal;
| | 14: | fill3(x,y,z,[0.3 0.3 0.8],'FaceAlpha',0.5); %blau
| | 15: |
| | 16: | %Ebenengleichung in der Form Ax+Bx+Cx+D = 0
| | 17: | A = 0.104147;
| | 18: | B = 0.374972;
| | 19: | C = 0.921167;
| | 20: | D = -12.8989;
| | 21: | %Ebenennormalenvektor
| | 22: | n = [A B C];
| | 23: |
| | 24: | %Berechung der Transformationsmatrix M
| | 25: | w = [x(2) y(2) z(2)] - [x(1) y(1) z(1)];
| | 26: | v = cross(w,n);
| | 27: | w = w/norm(w);
| | 28: | v = v/norm(v);
| | 29: | M = [v(1) w(1) n(1); v(2) w(2) n(2); v(3) w(3) n(3)];
| | 30: |
| | 31: | %Die Transformationsmatrix auf alle Punkte anwenden
| | 32: | %in der Form P' = P * M
| | 33: | for i = 1:numel(x)
| | 34: | M_TMP(i,:) = [x(i) y(i) z(i)] * M;
| | 35: | end
| | 36: | x_new = M_TMP(:,1);
| | 37: | y_new = M_TMP(:,2);
| | 38: | z_new = M_TMP(:,3); %die z-Komponente aller transformierten Punkte der Ebene ist jetzt gleich, was ich ja moechte
| | 39: |
| | 40: | fill3(x_new,y_new,z_new,[0.2 0.8 0.2],'FaceAlpha',0.8); %gruen
| | 41: |
| | 42: | %Die Transformationsmatrix auf alle Punkte anwenden
| | 43: | %in der Form P' = M * P
| | 44: | for i = 1:numel(x)
| | 45: | M_TMP(i,:) = M * [x(i) y(i) z(i)]';
| | 46: | end
| | 47: | x_new = M_TMP(:,1);
| | 48: | y_new = M_TMP(:,2);
| | 49: | z_new = M_TMP(:,3); %die z-Komponente ist jetzt unterschiedlich?
| | 50: |
| | 51: | fill3(x_new,y_new,z_new,[0.8 0.2 0.2],'FaceAlpha',0.8); %rot
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> > Auch möchte ich keine Spiegelung.
>
> Wieso denn? Falls [m]det(M)=1[/m] hast du bloß Rotationen ...
> (bzw: zwei Spiegelungen sind eine Drehung). Das heisst im
> Zweifel einfach das Vorzeichen eines Vektors kippen.
Ok, danke für den Hinweis.
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