Rotation von Vektoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich möchte in diesem Thread lernen wie man Vektoren und Ortsvektoren im [mm] \IR^3 [/mm] um eine beliebige Achse rotiert.
Drehung um die x-Achse: [mm] R_x(\alpha)=\pmat{ 1 & 0& 0\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha \\0 & cos\alpha& sin\alpha }
[/mm]
Drehung um die y-Achse: [mm] R_y(\alpha)=\pmat{ cos\alpha & 0& sin\alpha\\ 0 & 1 & 0 \\-sin\alpha & 0 & cos\alpha }
[/mm]
Drehung um die z-Achse [mm] R_z(\alpha)=\pmat{ cos\alpha& -sin\alpha& 0\\ sin\alpha& cos\alpha & 0 \\0 & 0&1 } [/mm] |
Wenn ich den Ortsvektor [mm] \vec{a} [/mm] um die x-Achse, y-Achse oder z-Achse rotieren möchte, dann muss ich diesen Vektor mit der Matrix [mm] R_x(\alpha), R_y(\alpha) [/mm] oder [mm] R_z(\alpha) [/mm] multiplizieren
Wenn ich den Vektor [mm] \vec{b} [/mm] um die x-Achse, y-Achse oder z-Achse rotieren möchte, dann muss ich diesen Vektor zunächst zum Ursprung verschieben. Dann mit einer der drei Drehmatrizen [mm] R_x(\alpha), R_y(\alpha) [/mm] oder [mm] R_z(\alpha) [/mm] multiplizieren um [mm] \vec{b} [/mm] zu rotieren, dann wieder zum ursprünglichen Stütztpunkt zurückverschieben.
Wie drehe ich jetzt einen Ortsvektor um eine beliebige Achse? Meine Idee wäre diese beliebige Achse so zu rotieren, damit es mit eines der Achsen des Koordinatensystems übereinstimmt. Dann kann ich den Ortsvektor mit eines der drei Matrizen [mm] R_x(\alpha), R_y(\alpha) [/mm] oder [mm] R_z(\alpha) [/mm] rotieren. Anschließend muss ich die beliebige Achse zurück rotieren.
Ist dieser Ansatz richtig? Wenn ja, kann sich jemand bitte ein Beispiel ausdenken, damit ich es mal nachrechnen kann?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 So 12.06.2016 | | Autor: | hippias |
Der Ansatz ist richtig und alle anderen Umsetzungen dürften äquivalent dazu sein. Trotzdem möchte ich auch folgende Idee beisteuern.
Die Formel für die Rotationsmatrizen gilt in jeder Orthonormalbasis. Wenn Du also um eine Achse $a$ rotieren willst, dann bestimme einen normierten Richtungsvektor zu $a$ und ergänze diesen - irgendwie - zu einer Orthonormalbasis.
Nun stellst Du Deinen zu rotierenden Punkt in dieser Basis dar, wendest die Rotationsmatrix an und stellst den rotierten Punkt wieder im alten Koordintensystem dar.
|
|
|
| |
|
> Wie drehe ich jetzt einen Ortsvektor um eine beliebige
> Achse? Meine Idee wäre diese beliebige Achse so zu
> rotieren, damit es mit eines der Achsen des
> Koordinatensystems übereinstimmt. Dann kann ich den
> Ortsvektor mit eines der drei Matrizen [mm]R_x(\alpha), R_y(\alpha)[/mm]
> oder [mm]R_z(\alpha)[/mm] rotieren. Anschließend muss ich die
> beliebige Achse zurück rotieren.
kann sich jemand hierfür ein geeignetes Beispiel ausdenken? Nur durch ein Beispiel kann ich das besser nachvollziehen
|
|
|
| |
|
auch wenn die frage bereits abgelaufen ist, bin ich noch an einer antwort interessiert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mo 13.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum wurde deine Frage nicht in dem anderen thread völlig beantwortet.?
hier nochmal kurz: ein Vektor hat keinen Fußpunkt. einen Vektor kann man einfach drehen. einen ortsvektor musst du erst in den 0 Punkt bringen, dann drehen und zurück transportieren.
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
> hier nochmal kurz: ein Vektor hat keinen Fußpunkt. einen
> Vektor kann man einfach drehen. einen ortsvektor musst du
> erst in den 0 Punkt bringen, dann drehen und zurück
> transportieren.
das weiß ich doch?(darum ging es auch nicht) das habe ich doch so geschrieben. Aber einen Ortsvektor muss man nicht in den Ursprung bringen, denn ein Ortsvektor ist doch schon im Ursprung. aber einen Vektor muss man zum ursprung bringen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Di 14.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
einen Vektor muss man nicht in den Uesprung bringen, weil ein Vektor gar keinen "Fußpunkt" hat.
und warum deine Frage nicht im alten thread beantwortet ist ist noch nicht klar.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo
> einen Vektor muss man nicht in den Uesprung bringen, weil
> ein Vektor gar keinen "Fußpunkt" hat.
> und warum deine Frage nicht im alten thread beantwortet
> ist ist noch nicht klar.
Ach jetzt verstehe ich was du meinst. Ich habe eigentlich immer an einer Geraden gedacht, aber dummerweise immer Vektor geschrieben.
Für die Drehung einer Geraden muss der Richtungsvektor gedreht werden und zum Stützpunkt der Geraden verschoben werden. Jetzt haben sich viele weitere Fragen erledigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 14.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja auch das ist möglich, aber du kannst auch die Formel für [mm] R_{n,\alpha} [/mm] nehmen.
Ein Beispiel denk dir aus, und wir kontrollieren! oder drehe (1,2,3) um die Richtung (1,1,0)
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> ja auch das ist möglich, aber du kannst auch die Formel
> für [mm]R_{n,\alpha}[/mm] nehmen.
> Ein Beispiel denk dir aus, und wir kontrollieren! oder
> drehe (1,2,3) um die Richtung (1,1,0)
> Gruß leduart
ich würde einfach [mm] R_{n,\alpha} [/mm] mit (1,2,3) multiplizieren
für den Normalvektor gilt dann [mm] n=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\ 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 14.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja und was war jetzt der sinn dieses threads? soweit waren wir doch schon im letzten?
Gruß ledum
|
|
|
|
