Rotationsinvarianz Laplace < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es gibt allerdings auch eine kurze, koordinatenfreie Herleitung für die O(n)-Invarianz des Laplace-Operator:
Sie benutzt, dass man [mm] \Delta [/mm] = div ° grad schreiben kann, wobei div und grad analog wie in [mm] \IR^3 [/mm] definiert sind.
Bezeichnet Df die Jakobi-Matrix von f, so ist für [mm] u:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
grad u = [mm] (Du)^T
[/mm]
bezüglich des Standardskalarproduktes (klar, wenn man die Komponenten von Du mit denen von grad u vergleicht).
Für ein F: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^n [/mm] ist dann
div F = tr(DF)
wobei tr die Spur, also die Summe über den Diagonalelementen von F bezeichnet.
Somit gilt:
[mm] \Delta [/mm] u = div grad u = [mm] tr(D(Du)^T)
[/mm]
Ist nun v = u ° A wie oben, so gilt
Dv(x) = Du(Ax) ° A(x) => grad v(x) = [mm] A^T [/mm] grad u(Ax)
Nun erhält man
div grad v(x) = [mm] tr(D(A^T [/mm] grad u(Ax))) = [mm] tr(A^T [/mm] D(grad u)(Ax) A) = tr(A^(-1) D(grad u)(Ax) A) = tr(D(grad u)(Ax)) = div grad u (Ax) = [mm] \Delta [/mm] u (Ax) |
Hallo zusammen,
das hier hab ich als Beweis für die Rotationsinvarianz des Laplace Operators gefunden.
Ich verstehe eigentlich alles, außer bei der Beweisführung am Ende das 2. Gleichheitszeichen. Das man [mm] $A^T$ [/mm] rausziehen kann, leuchtet mir ein und auch das das (Ax), aber woher kommt plötzlich das A??
Würde mich freuen, wenn mir jemand hilft, das zu verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 19.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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