Rotationsk. -Wasserverdrängung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie den Körper, der durch Drehung der Kettenlinie y = consh(x) um die x-Achse ensteht und zwischen den Schnitten bei
x=0 und x=x - index 0 liegt.
Berechnen Sie, wieviel Wasser dieser Körper verdrängt, wenn er voll versenkt ist.
Angenommen das Material des Körpers besitzt eine Dichte von 0,9 g pro kubikzentimeter. Wie tief sinkt der Körper in das Wasser ein, wenn er mit der Rotationsachse senkrecht zur Wasseroberfläche aufgesetzt wird, wobei die Schnitttfläche bei der Koordinate x = x -index0 nach unten zeigt? |
Bitte helft mir. Ich weiß überhaupt nicht wie ich das lösen soll :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Weißt du denn generell, wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnet?
Sicherlich kennst du noch die Ober- und Untersummen, die ihr in der Schule am Anfang benutzt habt. Da hattet ihr dann Rechtecke der Dicke dx und der Höhe f(x). Ihre Oberfläche war dann f(x)dx, und die wurde aufsummiert bzw integriert: [mm] $A=\integral [/mm] f(x)dx$
Nun hast du einen Rotationskörper. Du hast nicht mehr diese rechtecke, sondern kreisscheiben, deren Achse auf der x-Achse liegt. Sie sind weiterhin dx dick, doch sie haben einen Radius von f(x). Ihr Volumen ist nach [mm] $d*\pi r^2$ [/mm] einfach [mm] $\pi [/mm] f(x)^2dx$, alle zusammen also [mm] $V=\pi \integral [/mm] f(x)^2dx$
Dies ist das Volumen eines Rotationskörpers, also die Verdrängung.
Nun zum 2. Teil. Aus der gegebenen Dichte bekommst du das Gewicht des Rotationskörpers.
Ein Körper schwimmt, wenn das von ihm verdrängte Wasser das gleiche Gewicht wie der Körper hat. Wasser hat eine Dichte von 1, demnach ist Gewicht und Masse für wasser das gleiche.
Die Frage ist nun, wie groß mußt du die untere Integrationsgrenze wählen, damit als Volumen genau dem Gewicht des Körpers mit Diche 0,9 entspricht.
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Hi! Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe die Aufgabe jetzt zumindest verstanden und konnte alles ausformulieren. Leider strecke ich jetzt in der Algebra fest und bekomme die Integrationsgrenzen nicht raus.
Die "Endformel" lautet: [mm] sinh(2x_{1}) [/mm] + [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] sinh(2x_{0})-2x_{0}
[/mm]
=
0,9 [mm] (sinh(2x_{0}) [/mm] + [mm] 2x_{0}) [/mm]
Gesucht ist hier [mm] x_{1} [/mm] Das Ergebnis ist nachher in Abh. von [mm] x_{0}
[/mm]
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naja, erstmal:
Da fehlt der Faktor pi, ich hoffe, du hast ihn nur herausgekürzt? Bei der ersten Aufgabe muß er ja da stehen
Dann habe ich für das INtegral über cosh²(x) heraus:
2·x - 2·x
ê ê x
- +
8 8 2
Jedenfalls sagt Derive das, was du an der Schreibweise siehts...
Dann hast du die Grenzen vertauscht. [mm] x_0 [/mm] ist die obere Grenze, weil du den Rotationskörper mit der x-Achse nach unten ins Wasser hälst. Demnach ist [mm] x_1 [/mm] die untere Grenze.
Aber du hast recht, das läßt sich nicht weiter auflösen, hier brauchst du [mm] x_0 [/mm] und mußt es dann numerisch lösen.
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