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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 12.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | | Sei A eine orthogonale Matrix, L: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] : [mm] v\to [/mm] A * v die lineare Abbildung, die sie definiert. Zeigen Sie, dass es eine Basis B gibt, so dass die darstellende Matrix von L in dieser Basis eine Drehung in einer von zwei Basisvektoren aufgespannten Ebene ist. |
Also, es geht erstmal überhaupt erst um das Verständnis der Aufgabe.
Zunächst einmal ist doch A schon die darstellende Matrix von L, richtig?
Und ich soll jetzt zeigen, dass es eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] gibt, in der diese Matrix eine Drehung beschreibt? Was ist mit "in der" gemeint? Bezüglich dieser Basis? Also das Vektoren, die mit dieser Basis dargestellt werden, gedreht werden, in einer Ebene, die wiederrum von dieser Basis aufgespannt wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Keiner eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mo 13.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei A eine orthogonale Matrix, L: [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] : [mm]v\to[/mm] A
> * v die lineare Abbildung, die sie definiert. Zeigen Sie,
> dass es eine Basis B gibt, so dass die darstellende Matrix
> von L in dieser Basis eine Drehung in einer von zwei
> Basisvektoren aufgespannten Ebene ist.
> Also, es geht erstmal überhaupt erst um das Verständnis
> der Aufgabe.
> Zunächst einmal ist doch A schon die darstellende Matrix
> von L, richtig?
Eine darstellende Matrix von L. Da nichts darüber angegeben ist,
zu welcher Basis der Definitionsmenge [mm] ($\IR^3$) [/mm] von L und welcher Basis
der Zielmenge von L [mm] ($\IR^3$) [/mm] A gegeben ist, sind es wahrscheinlich
jeweils die kanonische Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
> Und ich soll jetzt zeigen, dass es eine Basis von [mm]\IR^3[/mm]
> gibt, in der diese Matrix eine Drehung beschreibt?
In der die Abbildung L eine Drehung beschreibt.
> Was ist
> mit "in der" gemeint? Bezüglich dieser Basis? Also das
> Vektoren, die mit dieser Basis dargestellt werden, gedreht
> werden, in einer Ebene, die wiederrum von dieser Basis
> aufgespannt wird?
Es gibt eine Basis, bei der, bei der Drehung, die L beschreibt, ein
Basisvektor fest bleibt und die anderen beiden Basisvektoren in der Ebene,
die durch diese beiden Basisvektoren aufgespannt wird, gedreht werden.
>
Siehe ![[]](/images/popup.gif) darstellende Matrix, Basiswechsel und Rotationsmatrix.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Di 14.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Hmmm.....dann fehlt mir aber irgendwie der Ansatz.
Also an sich muss doch einfach A eine Rotationsmatrix sein, die einfach um eine der Achsen dreht (z.b. um die z-Achse). Oder nicht?
Denn wenn die Abbildungsvorschrift heißt, auf einen Vektor soll die Matrix A angewandt werden, ist A ja eben schon die darstellende Matrix.
Aber wie zeige ich das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Di 14.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst doch zeigen dass es eine Basis b1,b2,b3 gibt so dass z.B, uu b3 gedreht wird.
natürlich kann A zufällig auch ne matrix sein, die um e1 oder e2 oder e3 (die Standart Basis dreht, wird es aber i. A nicht sein.
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