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Rotationsvolumen mit Derive 6
Die Hilfe von Derive bietet folgende Lösung zur Bestimmung eines Rotationsvolumens bei drehung um die y_Achse
VOLUMEY_OF_REVOLUTION(f(x),x1,x2)
meine Funktionsgleichung ist [mm] f(x)=x^2+3; [/mm] x1=0 und x2=1
wenn ich mit Derive rechne lasse also
VOLUMEY_OF_REVOLUTION(f(x),x,0,1) ist das Ergebnis 7/2*pi.
Handrechnung liefert V=pi/2.
Ich möchte natürlich die angenehmen Seiten eines CAS nutzen- aber Fehler sind wenig hilfreich.
Kann mir jemeand sagen was ich bei der Biedienung von Derive falsch gemacht habe?
Vielen Dank im vorraus
Wolfgangm
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Hallo Wolfgangm und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
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> Rotationsvolumen mit Derive 6
>
> Die Hilfe von Derive bietet folgende Lösung zur Bestimmung
> eines Rotationsvolumens bei drehung um die y_Achse
>
> VOLUMEY_OF_REVOLUTION(f(x),x1,x2)
>
> meine Funktionsgleichung ist [mm]f(x)=x^2+3;[/mm] x1=0 und x2=1
>
> wenn ich mit Derive rechne lasse also
>
> VOLUMEY_OF_REVOLUTION(f(x),x,0,1) ist das Ergebnis 7/2*pi.
habe ich auch erhalten. 
>
> Handrechnung liefert V=pi/2.
Wie hast du denn das gerechnet?
>
> Ich möchte natürlich die angenehmen Seiten eines CAS
> nutzen- aber Fehler sind wenig hilfreich.
> Kann mir jemeand sagen was ich bei der Biedienung von
> Derive falsch gemacht habe?
>
Gruß informix
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Danke für die schnelle Antwort.
[mm] \pi\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}
[/mm]
mit [mm] f(x)=x^2+3 [/mm] ist [mm] x^2=y-3
[/mm]
also [mm] \pi*\integral_{3}^{3}{(y-3) dy}=y^2/2-3*y
[/mm]
Grenzen einsetzen ergibt [mm] \pi/2
[/mm]
Gruß Wolfgangm
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Hallo Wolfgangm,
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> [mm]\pi\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
> mit [mm]f(x)=x^2+3[/mm] ist
> [mm]x^2=y-3[/mm]
>
> also [mm]\pi*\integral_{3}^{3}{(y-3) dy}=y^2/2-3*y[/mm]
hier stimmt die obere Grenze nicht - Schreibfehler:
also [mm]\pi*\integral_{3}^{4}{(y-3) dy}=\pi\left[y^2/2-3*y\right]_3^4[/mm]
>
>
> Grenzen einsetzen ergibt [mm]\pi/2[/mm]
>
Da ist immer noch der Wurm drin!
Ich zitiere mal aus ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia:
> [mm] $V=\pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} {(f^{-1}(y))^2 \cdot dy}$
[/mm]
> Wenn man hier [mm] x=f^{-1}(y) [/mm] substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse
> [mm] $V=\pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \mathrm{d}y [/mm] = [mm] \pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} x^2 \cdot f'(x)\cdot \mathrm{d}x. [/mm] $
Irgendwo hast du das f'(x) unterschlagen?!
Aber: ich komme auch nicht auf die [mm] \frac{7}{2}\pi.
[/mm]
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Wolfgangm |
Die Formel, die in Wiki zitiert ist, liefert das gleiche Ergebnis; V= pi/2.
ich denke sie wird verwendet, falls ich f(x) nicht nach x auflösen kann.
Gruß
Wolfgangm
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Hallo!
Vermutlich ist das Interesse an hieran nicht mehr aktuell, bin dennoch drauf gestoßen und kann das Geheimnis um die [mm] \bruch{7}{2} \pi [/mm] lüften:
"VOLUMEY_OF_REVOLUTION()" berechnet das volumen durch rotation einer integrierbaren funktion um die y-Achse, und zwar ZWISCHEN GRAPH UND X-ACHSE, nimmt als die letzten beiden Parameter deshalb auch Abszissen an. Wenn wir der Theorie der Formel nach jedoch ein Rotationsvolumen um y berechnen, dann greifen wir auf die Methodik des um-x-drehens zurück, nehmen uns bloß die umkehrfunktion her und ordinaten als intervallgrenzen. Damit erhalten wir aber das Rotationsvolumen um die y-Achse ZWISCHEN GRAPH UND Y-ACHSE!
Weg aus dem Dilemma: Man berechne den Zylinder, der als Radius das Intervall und als Höhe f(äußere Grenze) hat und bilden die Differenz:
Hier in diesem Fall habt ihr also das korrekte Volumen zwischen Graph und y-Achse ausgerechnet, nämlich [mm] \bruch{1}{2} \pi; [/mm] Jener Zylinder aber hat das Volumen [mm] \pi*1^{2}*4=4\pi [/mm] und die Differenz beträgt genau [mm] \bruch{7}{2}\pi.
[/mm]
Ja so ist das. Und wenn man das weiß, ist Derive in dieser Hinsicht sehr nützlich.
Auf dann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Wolfgangm |
Herzlichen Dank
Gruß Wolfgangm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Do 01.02.2007 | | Autor: | informix |
Hallo erdreich und ,
> Hallo!
> Vermutlich ist das Interesse an hieran nicht mehr aktuell,
oh doch! solche guten Tipps können wir immer wieder gebrauchen!
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") vielen Dank.
Arbeitest du viel mit Derive?
Dann schau mal ab und zu in dieses Forum, ich freu' mich über Unterstützung.
Bislang bin ich ziemlich Alleinunterhalter hier. ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
> bin dennoch drauf gestoßen und kann das Geheimnis um die
> [mm]\bruch{7}{2} \pi[/mm] lüften:
>
> "VOLUMEY_OF_REVOLUTION()" berechnet das volumen durch
> rotation einer integrierbaren funktion um die y-Achse, und
> zwar ZWISCHEN GRAPH UND X-ACHSE, nimmt als die letzten
> beiden Parameter deshalb auch Abszissen an. Wenn wir der
> Theorie der Formel nach jedoch ein Rotationsvolumen um y
> berechnen, dann greifen wir auf die Methodik des
> um-x-drehens zurück, nehmen uns bloß die umkehrfunktion her
> und ordinaten als intervallgrenzen. Damit erhalten wir aber
> das Rotationsvolumen um die y-Achse ZWISCHEN GRAPH UND
> Y-ACHSE!
> Weg aus dem Dilemma: Man berechne den Zylinder, der als
> Radius das Intervall und als Höhe f(äußere Grenze) hat und
> bilden die Differenz:
>
> Hier in diesem Fall habt ihr also das korrekte Volumen
> zwischen Graph und y-Achse ausgerechnet, nämlich
> [mm]\bruch{1}{2} \pi;[/mm] Jener Zylinder aber hat das Volumen
> [mm]\pi*1^{2}*4=4\pi[/mm] und die Differenz beträgt genau
> [mm]\bruch{7}{2}\pi.[/mm]
>
> Ja so ist das. Und wenn man das weiß, ist Derive in dieser
> Hinsicht sehr nützlich.
> Auf dann.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 01.02.2007 | | Autor: | erdreich |
Oh vielen Dank für diesen warmherzigen Empfang *lach*. Nun, ich möchte nicht sagen, dass ich viel mit Derive wirklich arbeite, bestätige mir aber gern meine Rechnungen damit. Weil ich selbst viel Spaß am Programmieren habe, müh ich mich natürlich in der Regel die Funktionen zu verstehen, die man mir vorsetzt, oft mit erfolg, oft auch nicht.
Aber ich schau hier gern ab und zu mal rein und will sehen, was ich beitragen kann.
Gruß,
ERD
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