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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Rücksubstitution
Rücksubstitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rücksubstitution: s13a29
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:14 Sa 18.12.2010
Autor: pppppp

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm]u''(x)=e^{x^2}[/mm] die Differentialgleichung

[mm]u''(x)-2xu'(x)-2u(x)=0[/mm]

löst.Bestimmen Sie eine weitere nichttriviale Lösung mit der Methode der Reduktion der Ordnung.



Hi, bei der Rücksubstitution am Ende stimmt glaube ich etwas nicht, ist denn der Ansatz vom Prinzip her richtig?
Grüße Philipp

Meine Rechnung bis jetzt:

gegebene Lsg ableiten:
[mm]u_1=e^{x^2}[/mm]
[mm]u_1'=2xe^{x^2}[/mm]
[mm]u_1''=2x2xe^{x^2}+2e^{x^2}[/mm]

Die gegebene Lösung in DGL einsetzen:
[mm]2x2xe^{x^2}+2e^{x^2}-2x2xe^{x^2}-2e^{x^2}=0[/mm]
                     0=0
-> stimmt.

Multiplikationsansatz für die Reduktion der Ordnung: (Die Funktion v wird neu erfunden, [mm] u_1 [/mm] ist die bekannte Lösung)
[mm]u=v*u_1[/mm]  
[mm]u'=v'*u_1+v*u'_1[/mm]  
[mm]u''=v''*u_1+2v'u_1'+vu_1''[/mm]  

Einsetzen:
[mm]v''e^{x^2}+2v'2xe^{x^2}+v(4x^2e^{x^2}+2e^{x^2})-2x(v'e^{x^2}+v*2xe^{x^2})-2ve^{x^2}=0[/mm]
[mm]e^{x^2}(v''+4xv'+\blue{4x^2v}+\green{2v}-2xv'-\blue{4x^2v}-\green{2v})=0[/mm]  
[mm]v''+2xv'=0[/mm]  

Substitution z=v' (Reduktion der Ordnung)
[mm]z'+2xz=0[/mm]
[mm]z'=-2xz[/mm]     [mm]a(x)=-2x[/mm]    [mm]A(x)=-x^2[/mm]
[mm]z=ce^{A}=ce^{-x^2}[/mm]   [mm]z'=-c2xe^{-x^2}[/mm]    [mm]c\in\IR[/mm]

Rücksubstitution v'=z
[mm]v'=z=ce^{-x^2}[/mm]
[mm]v=-\bruch{c}{2x}e^{-x^2}[/mm]

Multiplikationsansatz, rückwärts:
[mm]u=v*u_1=-\bruch{c}{2x}e^{-x^2}*e^{x^2}=-\bruch{c}{2x}[/mm]

eine weitere Lösung:
[mm]u_2=\bruch{1}{x}[/mm]


Probe (gleich im Voraus: [scheisskram])

[mm]u_2=\bruch{1}{x}& \wegde \to u_2'=-\bruch{1}{x^2}&\to u_2''=\bruch{1}{x^4}[/mm]
einsetzen:

[mm]u''(x)-2xu'(x)-2u(x)=1/x^4-2x1/x^2-2/x=1/x^4-2/x-2/x=1/x^4\red{\neq}0[/mm]

Habe es noch mit der Funktion vor der Rücksubtitution ([mm]v=-\bruch{c}{2x}e^{-x^2}[/mm]) probiert, war aber auch nix (kam [mm] 8x^2-4=0 [/mm] raus)


        
Bezug
Rücksubstitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:11 Sa 18.12.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Zeigen Sie, dass [mm]u''(x)=e^{x^2}[/mm]    [haee]

> die Differentialgleichung
>
> [mm]u''(x)-2xu'(x)-2u(x)=0[/mm]
>  
> löst.


Die Gleichung für die Lösungsfunktion sollte wohl nicht  
[mm]u''(x)=e^{x^2}[/mm]  lauten, sondern  [mm]u(x)=e^{x^2}[/mm] !

Bezug
                
Bezug
Rücksubstitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Sa 18.12.2010
Autor: pppppp

[zustimm]

mein Fehler

Bezug
        
Bezug
Rücksubstitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Sa 18.12.2010
Autor: ullim

Hi,

> Zeigen Sie, dass [mm]u''(x)=e^{x^2}[/mm] die Differentialgleichung
>
> [mm]u''(x)-2xu'(x)-2u(x)=0[/mm]
>  
> löst.Bestimmen Sie eine weitere nichttriviale Lösung mit
> der Methode der Reduktion der Ordnung.
>  
>
> Hi, bei der Rücksubstitution am Ende stimmt glaube ich
> etwas nicht, ist denn der Ansatz vom Prinzip her richtig?
>  Grüße Philipp
>  
> Meine Rechnung bis jetzt:
>  
> gegebene Lsg ableiten:
>  [mm]u_1=e^{x^2}[/mm]
>  [mm]u_1'=2xe^{x^2}[/mm]
>  [mm]u_1''=2x2xe^{x^2}+2e^{x^2}[/mm]
>  
> Die gegebene Lösung in DGL einsetzen:
>  [mm]2x2xe^{x^2}+2e^{x^2}-2x2xe^{x^2}-2e^{x^2}=0[/mm]
> 0=0
>  -> stimmt.

>  
> Multiplikationsansatz für die Reduktion der Ordnung: (Die
> Funktion v wird neu erfunden, [mm]u_1[/mm] ist die bekannte
> Lösung)
>  [mm]u=v*u_1[/mm]  
> [mm]u'=v'*u_1+v*u'_1[/mm]  
> [mm]u''=v''*u_1+2v'u_1'+vu_1''[/mm]  
>
> Einsetzen:
>  
> [mm]v''e^{x^2}+2v'2xe^{x^2}+v(4x^2e^{x^2}+2e^{x^2})-2x(v'e^{x^2}+v*2xe^{x^2})-2ve^{x^2}=0[/mm]
>  
> [mm]e^{x^2}(v''+4xv'+\blue{4x^2v}+\green{2v}-2xv'-\blue{4x^2v}-\green{2v})=0[/mm]
>  
> [mm]v''+2xv'=0[/mm]  
>
> Substitution z=v' (Reduktion der Ordnung)
>  [mm]z'+2xz=0[/mm]
>  [mm]z'=-2xz[/mm]     [mm]a(x)=-2x[/mm]    [mm]A(x)=-x^2[/mm]
>  [mm]z=ce^{A}=ce^{-x^2}[/mm]   [mm]z'=-c2xe^{-x^2}[/mm]    [mm]c\in\IR[/mm]
>  
> Rücksubstitution v'=z
> [mm]v'=z=ce^{-x^2}[/mm]

[ok]

>  [mm]v=-\bruch{c}{2x}e^{-x^2}[/mm]

[notok]

Es müsste ja gelten [mm] v'=c*e^{-x^2} [/mm] aber

[mm] v'=c*e^{-x^2}+c*\br{e^{-x^2}}{2*x^2} [/mm] wegen der Produktregel

Die Funktion [mm] e^{-x^2} [/mm] ist auch nicht explizit integrierbar.

Das Integral über [mm] e^{-x^2} [/mm] ist proportional zur erf(x) [Fehlerfunktion]


Bezug
                
Bezug
Rücksubstitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Sa 18.12.2010
Autor: pppppp

Hoppala das hab ich nicht bedacht!

Danke fürs durchsehen!

Bezug
                
Bezug
Rücksubstitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Sa 18.12.2010
Autor: pppppp



> Substitution z=v' (Reduktion der Ordnung)
>  [mm] z'+2xz=0 [/mm]
>  [mm] z'=-2xz [/mm]     [mm] a(x)=-2x [/mm]    [mm] A(x)=-x^2 [/mm]
>  [mm] z=ce^{A}=ce^{-x^2} [/mm]   [mm] z'=-c2xe^{-x^2} [/mm]    [mm] c\in\IR [/mm]
>  
> Rücksubstitution v'=z
> [mm] v'=z=ce^{-x^2} [/mm]

[ok]

>  [mm] v=-\bruch{c}{2x}e^{-x^2} [/mm]

[notok]

Eigentlich müsste man ja die Ableitungen v' und v''  auch in die Differentialgleichung einsetzen können und nach v umstellen um die Integration zu umgehen.
Ich hab das hier mal gemacht, leider ohne Erfolg. Ist das ein Rechenfehler oder ein Logikfehler?

Die schon berechneten Ableitungen:
[mm] v'=z=ce^{-x^2} [/mm]  
[mm] v''=z'=-c2xe^{-x^2} [/mm]    

werden in die nach v(x) umgestellte Differentialgleichung
[mm] v''(x)-2xv'(x)-2v(x)=0 [/mm]    
[mm] 1/2v''(x)-xv'(x)=v(x) [/mm]    

eingesetzt
[mm] -2/2cxe^{-x^2}-xce^{-x^2}=v(x) [/mm]    
[mm]v(x)=-2cxe^{-x^2}[/mm] = allgemeine Lösung

Wenn ich dieses Ergebnis ableite um es mit der bekannten Ableitung zu vergleichen kommt leider
[mm]v'(x)=-2ce^{-x^2}+2cx*2x*e^{-x^2}\red\neq v'=z=ce^{-x^2} [/mm]  [aetsch]
heraus.

Bezug
                        
Bezug
Rücksubstitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Sa 18.12.2010
Autor: leduart

Hallo
wie kommst du von $ v''+2xv'=0 $ auf $ v''+2xv'=v(x) $
Die gl gibts doch gar nicht?
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Rücksubstitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 So 19.12.2010
Autor: ullim

Hi,

>  [mm] v(x)'=c*e^{-x^2} [/mm]

D.h. [mm] v(x)=c*\br{\wurzel{\pi}}{2}*erf(x)+K [/mm]

Jetzt ist

[mm] u(x)=u_1(x)*v(x)=e^{x^2}*\left(c*\br{\wurzel{\pi}}{2}*erf(x)+K\right) [/mm] eine weitere Lösung.

[mm] u'(x)=2\cdot{x}\cdot{u(x)}+c [/mm]

[mm] u''(x)=2\cdot{u(x)}+4*x^2*u(x)+2*c*x [/mm]

und deshalb ist

[mm] u''(x)-2\cdot{x}*u'(x)-2*u(x)=0 [/mm]
Bezug
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