Rücktrafo: Residuensatz,PBZ < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 28.08.2009 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Zeitfunktion f(t) der Laplace-Transformierten
[mm] F(s)=\frac{e^{-4s}}{s^2+4s+13}
[/mm]
mit Hilfe des Verschiebungssatzes, des Residuensatzes und der Partialbruchzerlegung. |
Zunächst hab ich f(t) durch umformen, Korrespondenzen ermittelt als Kontrolle für die späteren Lösungen. Der Zähler lässt sich mit dem Verschiebungssatz "behandeln".
[mm] F(s)=e^{-4s}*\frac{1}{3}\frac{3}{(s+2)^2+3^2} \Rightarrow f(t)=\frac{1}{3}e^{-2(t-4}sin(3(t-4))*u(t-4)
[/mm]
mit [Dateianhang nicht öffentlich]
Dann Partialbruchzerlegung. Die Nullstellen vom Nenner sind
[mm] s_1=-2+3i [/mm] u. [mm] s_2=-2-3i
[/mm]
[mm] \frac{1}{s^2+4s+13}=\frac{as+b}{(s+2-3i)(s+2-3i)}
[/mm]
Dann habe ich aber nur einen Bruch auf der rechten Seite. b=1 und a=0? Wie geht es weiter? Wie wende ich den Residuensatz an?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo bigalow,
> Bestimmen sie die Zeitfunktion f(t) der
> Laplace-Transformierten
>
> [mm]F(s)=\frac{e^{-4s}}{s^2+4s+13}[/mm]
>
> mit Hilfe des Verschiebungssatzes, des Residuensatzes und
> der Partialbruchzerlegung.
> Zunächst hab ich f(t) durch umformen, Korrespondenzen
> ermittelt als Kontrolle für die späteren Lösungen. Der
> Zähler lässt sich mit dem Verschiebungssatz "behandeln".
> [mm]F(s)=e^{-4s}*\frac{1}{3}\frac{3}{(s+2)^2+3^2} \Rightarrow f(t)=\frac{1}{3}e^{-2(t-4}sin(3(t-4))*u(t-4)[/mm]
>
> mit [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dann Partialbruchzerlegung. Die Nullstellen vom Nenner
> sind
> [mm]s_1=-2+3i[/mm] u. [mm]s_2=-2-3i[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{s^2+4s+13}=\frac{as+b}{(s+2-3i)(s+2-3i)}[/mm]
Zerlege den Bruch so:
[mm]\frac{1}{s^2+4s+13}=\frac{1}{(s+2-3i)(s+2+3i)}=\bruch{A}{s+2-3i}+\bruch{B}{s+2+3i}[/mm]
> Dann habe ich aber nur einen Bruch auf der rechten Seite.
> b=1 und a=0? Wie geht es weiter? Wie wende ich den
> Residuensatz an?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 31.08.2009 | | Autor: | bigalow |
Durch Koeffizientenvergleich bekomme ich dann [mm] a=\frac{1}{6i},B=\frac{-1}{6i}. [/mm] -> [mm] F(s)=\bruch{1}{6}( \bruch{1}{si+2i+3}+\bruch{-1}{3-si-2i}). [/mm] Wie kann ich das rücktransformieren?
|
|
|
| |
|
Hallo bigalow,
> Durch Koeffizientenvergleich bekomme ich dann
> [mm]a=\frac{1}{6i},B=\frac{-1}{6i}.[/mm] -> [mm]F(s)=\bruch{1}{6}( \bruch{1}{si+2i+3}+\bruch{-1}{3-si-2i}).[/mm]
Dass muss doch so lauten:
[mm]F(s)=\bruch{1}{6}( \bruch{1}{si+2i+3}+\bruch{\red{+}1}{3-si-2i})[/mm]
> Wie kann ich das rücktransformieren?
Klammere das "i" aus, dann kannst Du das nach Tabelle zurücktransformieren.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
