Ruhelage attraktiv < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Do 23.08.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Gegeben sei das Differenzialgleichungssystem
[mm] x' = -x + 2e^{2t}y [/mm]
[mm] y' = -2y [/mm]
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems.
b) Geben Sie alle Ruhelagen des Systems an und untersuchen Sie diese auf Attraktivität |
Hallo, hier meine Lösung, vlt. könnte ja jemand mal drüber schaun, bin mir nicht ganz sicher.
a) Das DGL-System lässt sich auch schreiben als [mm] \vektor{x \\ y}' = A*\vektor{x \\ y} [/mm] mit [mm] A = \pmat{ -1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2} [/mm].
Das charakteristische Polynom von A ist: [mm] \chi_A = (\lambda + 1)(\lambda + 2) [/mm]. Die Eigenwerte von A sind also [mm] \lambda_1 = -1 [/mm] und [mm] \lambda_2 = -2 [/mm].
Weiter gilt:
A + [mm] I_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2e^{2t} \\ 0 & 1} \to \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}
[/mm]
A + [mm] 2I_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2e^{2t} \\ 0 & 0} \to \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
Folglich ist [mm] \{\vektor{1 \\ 0}\} [/mm] Basis zum Eigenraum [mm] E(\lambda_1) [/mm] und [mm] \{\vektor{0 \\ 1}\} [/mm] Basis zum Eigenraum [mm] E(\lambda_2). [/mm] Da beide Eigenwerte algebraische Vielfachheit 1 besitzen ist [mm] E(\lambda_1)=H(\lambda_1) [/mm] und [mm] E(\lambda_2) [/mm] = [mm] H(\lambda_2), [/mm] wobei [mm] H(\lambda_i) [/mm] für i=1,2 der Hauptraum zum Eigenwert [mm] \lambda_i [/mm] ist. Insgesamt folgt also, dass
[mm]\phi: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] \phi(t) = c_1\vektor{1 \\ 0 }e^{-t} + c_2\vektor{0 \\ 1}e^{-2t} [/mm] mit [mm] c_1,c_2 \in \IR [/mm] die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems ist.
b)
Sei [mm] f: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] f_1(x,y)= -x + 2e^{2t}, f_2(x,y)= -2y[/mm], dann entspricht das DGL-System (*)
[mm] x' = f_1(x,y) [/mm]
[mm] y' = f_2(x,y) [/mm] dem ursprünglichen DGL-System.
[mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] ist genau dann Ruhelage von (*), wenn [mm] f_1(x_0,y_0) = f_2(x_0,y_0) = 0 [/mm]. Also ist (0,0) die einzige Ruhelage von (*).
Die Jacobi-Matrix von f in [mm](x,y) \in \IR^2 [/mm] ist gegeben durch:
[mm] J_f(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}. [/mm] Folglich gilt [mm] J_f(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2} [/mm] = A (vgl. a)).
Die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms von A sind [mm] \lambda_1 [/mm] = -1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -2 (vgl. a)). Die Realteile beider Eigenwerte sind somit negativ und die Ruhelage (0,0) ist somit asymptotisch stabil. Als asymptotisch stabile Ruhelage ist (0,0) insbesondere attraktiv. [mm] \Box
[/mm]
Stimmt das so? Bin mir bei der b) nicht sicher ob ich das so machen darf?
Vielen Dank!
Grüße
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Hallo teo,
> Gegeben sei das Differenzialgleichungssystem
>
> [mm]x' = -x + 2e^{2t}y[/mm]
> [mm]y' = -2y[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des
> Differenzialgleichungssystems.
> b) Geben Sie alle Ruhelagen des Systems an und untersuchen
> Sie diese auf Attraktivität
> Hallo, hier meine Lösung, vlt. könnte ja jemand mal
> drüber schaun, bin mir nicht ganz sicher.
>
> a) Das DGL-System lässt sich auch schreiben als [mm]\vektor{x \\ y}' = A*\vektor{x \\ y}[/mm]
> mit [mm]A = \pmat{ -1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2} [/mm].
>
> Das charakteristische Polynom von A ist: [mm]\chi_A = (\lambda + 1)(\lambda + 2) [/mm].
> Die Eigenwerte von A sind also [mm]\lambda_1 = -1[/mm] und [mm]\lambda_2 = -2 [/mm].
>
> Weiter gilt:
>
> A + [mm]I_3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 2e^{2t} \\ 0 & 1} \to \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> A + [mm]2I_3[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2e^{2t} \\ 0 & 0} \to \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> Folglich ist [mm]\{\vektor{1 \\ 0}\}[/mm] Basis zum Eigenraum
> [mm]E(\lambda_1)[/mm] und [mm]\{\vektor{0 \\ 1}\}[/mm] Basis zum Eigenraum
> [mm]E(\lambda_2).[/mm] Da beide Eigenwerte algebraische Vielfachheit
> 1 besitzen ist [mm]E(\lambda_1)=H(\lambda_1)[/mm] und [mm]E(\lambda_2)[/mm] =
> [mm]H(\lambda_2),[/mm] wobei [mm]H(\lambda_i)[/mm] für i=1,2 der Hauptraum
> zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm] ist. Insgesamt folgt also, dass
>
> [mm]\phi: \IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]\phi(t) = c_1\vektor{1 \\ 0 }e^{-t} + c_2\vektor{0 \\ 1}e^{-2t}[/mm]
> mit [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm] die allgemeine Lösung des
> Differenzialgleichungssystems ist.
>
Sofern man hier überhaupt von Eigenwerten sprechen kann,
dann stimmt der Eigenvektor zum Eigenwert -2 nicht.
> b)
>
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]f_1(x,y)= -x + 2e^{2t}, f_2(x,y)= -2y[/mm],
> dann entspricht das DGL-System (*)
>
> [mm]x' = f_1(x,y)[/mm]
> [mm]y' = f_2(x,y)[/mm] dem ursprünglichen
> DGL-System.
>
> [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] ist genau dann Ruhelage von (*), wenn
> [mm]f_1(x_0,y_0) = f_2(x_0,y_0) = 0 [/mm]. Also ist (0,0) die
> einzige Ruhelage von (*).
>
> Die Jacobi-Matrix von f in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] ist gegeben
> durch:
>
> [mm]J_f(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}.[/mm] Folglich gilt
> [mm]J_f(0,0)[/mm] = [mm]\pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}[/mm] = A (vgl. a)).
>
> Die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms von A sind
> [mm]\lambda_1[/mm] = -1 und [mm]\lambda_2[/mm] = -2 (vgl. a)). Die Realteile
> beider Eigenwerte sind somit negativ und die Ruhelage (0,0)
> ist somit asymptotisch stabil. Als asymptotisch stabile
> Ruhelage ist (0,0) insbesondere attraktiv. [mm]\Box[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das so? Bin mir bei der b) nicht sicher ob ich das
> so machen darf?
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Do 23.08.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo teo,
>
> > Gegeben sei das Differenzialgleichungssystem
> >
> > [mm]x' = -x + 2e^{2t}y[/mm]
> > [mm]y' = -2y[/mm]
> >
> > a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des
> > Differenzialgleichungssystems.
> > b) Geben Sie alle Ruhelagen des Systems an und
> untersuchen
> > Sie diese auf Attraktivität
> > Hallo, hier meine Lösung, vlt. könnte ja jemand mal
> > drüber schaun, bin mir nicht ganz sicher.
> >
> > a) Das DGL-System lässt sich auch schreiben als [mm]\vektor{x \\ y}' = A*\vektor{x \\ y}[/mm]
> > mit [mm]A = \pmat{ -1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2} [/mm].
> >
> > Das charakteristische Polynom von A ist: [mm]\chi_A = (\lambda + 1)(\lambda + 2) [/mm].
> > Die Eigenwerte von A sind also [mm]\lambda_1 = -1[/mm] und [mm]\lambda_2 = -2 [/mm].
> >
> > Weiter gilt:
> >
> > A + [mm]I_3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 2e^{2t} \\ 0 & 1} \to \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> >
> > A + [mm]2I_3[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2e^{2t} \\ 0 & 0} \to \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> >
> > Folglich ist [mm]\{\vektor{1 \\ 0}\}[/mm] Basis zum Eigenraum
> > [mm]E(\lambda_1)[/mm] und [mm]\{\vektor{0 \\ 1}\}[/mm] Basis zum Eigenraum
> > [mm]E(\lambda_2).[/mm] Da beide Eigenwerte algebraische Vielfachheit
> > 1 besitzen ist [mm]E(\lambda_1)=H(\lambda_1)[/mm] und [mm]E(\lambda_2)[/mm] =
> > [mm]H(\lambda_2),[/mm] wobei [mm]H(\lambda_i)[/mm] für i=1,2 der Hauptraum
> > zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm] ist. Insgesamt folgt also, dass
> >
> > [mm]\phi: \IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]\phi(t) = c_1\vektor{1 \\ 0 }e^{-t} + c_2\vektor{0 \\ 1}e^{-2t}[/mm]
> > mit [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm] die allgemeine Lösung des
> > Differenzialgleichungssystems ist.
> >
>
>
> Sofern man hier überhaupt von Eigenwerten sprechen kann,
> dann stimmt der Eigenvektor zum Eigenwert -2 nicht.
>
Stimmt ist mir auch aufgefallen: [mm] \vektor{2e^{2t} \\ -1} [/mm] ist der richtige Vektor.
Wieso darf man evtl. nicht von Eigenwerten sprechen?
> > b)
> >
> > Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]f_1(x,y)= -x + 2e^{2t}, f_2(x,y)= -2y[/mm],
> > dann entspricht das DGL-System (*)
> >
> > [mm]x' = f_1(x,y)[/mm]
> > [mm]y' = f_2(x,y)[/mm] dem ursprünglichen
> > DGL-System.
> >
> > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] ist genau dann Ruhelage von (*), wenn
> > [mm]f_1(x_0,y_0) = f_2(x_0,y_0) = 0 [/mm]. Also ist (0,0) die
> > einzige Ruhelage von (*).
> >
> > Die Jacobi-Matrix von f in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] ist gegeben
> > durch:
> >
> > [mm]J_f(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}.[/mm] Folglich gilt
> > [mm]J_f(0,0)[/mm] = [mm]\pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}[/mm] = A (vgl. a)).
> >
> > Die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms von A sind
> > [mm]\lambda_1[/mm] = -1 und [mm]\lambda_2[/mm] = -2 (vgl. a)). Die Realteile
> > beider Eigenwerte sind somit negativ und die Ruhelage (0,0)
> > ist somit asymptotisch stabil. Als asymptotisch stabile
> > Ruhelage ist (0,0) insbesondere attraktiv. [mm]\Box[/mm]
> >
>
>
>
>
>
> > Stimmt das so? Bin mir bei der b) nicht sicher ob ich das
> > so machen darf?
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Grüße
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke dir!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Fr 24.08.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo teo,
> > Hallo teo,
> >
> > > Gegeben sei das Differenzialgleichungssystem
> > >
> > > [mm]x' = -x + 2e^{2t}y[/mm]
> > > [mm]y' = -2y[/mm]
> > >
> > > a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des
> > > Differenzialgleichungssystems.
> > > b) Geben Sie alle Ruhelagen des Systems an und
> > untersuchen
> > > Sie diese auf Attraktivität
> > > Hallo, hier meine Lösung, vlt. könnte ja jemand
> mal
> > > drüber schaun, bin mir nicht ganz sicher.
> > >
> > > a) Das DGL-System lässt sich auch schreiben als [mm]\vektor{x \\ y}' = A*\vektor{x \\ y}[/mm]
> > > mit [mm]A = \pmat{ -1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2} [/mm].
> > >
> > > Das charakteristische Polynom von A ist: [mm]\chi_A = (\lambda + 1)(\lambda + 2) [/mm].
> > > Die Eigenwerte von A sind also [mm]\lambda_1 = -1[/mm] und [mm]\lambda_2 = -2 [/mm].
> > >
> > > Weiter gilt:
> > >
> > > A + [mm]I_3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 2e^{2t} \\ 0 & 1} \to \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > A + [mm]2I_3[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2e^{2t} \\ 0 & 0} \to \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Folglich ist [mm]\{\vektor{1 \\ 0}\}[/mm] Basis zum Eigenraum
> > > [mm]E(\lambda_1)[/mm] und [mm]\{\vektor{0 \\ 1}\}[/mm] Basis zum Eigenraum
> > > [mm]E(\lambda_2).[/mm] Da beide Eigenwerte algebraische Vielfachheit
> > > 1 besitzen ist [mm]E(\lambda_1)=H(\lambda_1)[/mm] und [mm]E(\lambda_2)[/mm] =
> > > [mm]H(\lambda_2),[/mm] wobei [mm]H(\lambda_i)[/mm] für i=1,2 der Hauptraum
> > > zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm] ist. Insgesamt folgt also, dass
> > >
> > > [mm]\phi: \IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]\phi(t) = c_1\vektor{1 \\ 0 }e^{-t} + c_2\vektor{0 \\ 1}e^{-2t}[/mm]
> > > mit [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm] die allgemeine Lösung des
> > > Differenzialgleichungssystems ist.
> > >
> >
> >
> > Sofern man hier überhaupt von Eigenwerten sprechen kann,
> > dann stimmt der Eigenvektor zum Eigenwert -2 nicht.
> >
> Stimmt ist mir auch aufgefallen: [mm]\vektor{2e^{2t} \\ -1}[/mm] ist
> der richtige Vektor.
>
> Wieso darf man evtl. nicht von Eigenwerten sprechen?
>
>
Weil die Matrix von t abhängig ist.
> > > b)
> > >
> > > Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]f_1(x,y)= -x + 2e^{2t}, f_2(x,y)= -2y[/mm],
> > > dann entspricht das DGL-System (*)
> > >
> > > [mm]x' = f_1(x,y)[/mm]
> > > [mm]y' = f_2(x,y)[/mm] dem ursprünglichen
> > > DGL-System.
> > >
> > > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] ist genau dann Ruhelage von (*), wenn
> > > [mm]f_1(x_0,y_0) = f_2(x_0,y_0) = 0 [/mm]. Also ist (0,0) die
> > > einzige Ruhelage von (*).
> > >
> > > Die Jacobi-Matrix von f in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] ist gegeben
> > > durch:
> > >
> > > [mm]J_f(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}.[/mm] Folglich gilt
> > > [mm]J_f(0,0)[/mm] = [mm]\pmat{-1 & 2e^{2t} \\ 0 & -2}[/mm] = A (vgl. a)).
> > >
> > > Die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms von A sind
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = -1 und [mm]\lambda_2[/mm] = -2 (vgl. a)). Die Realteile
> > > beider Eigenwerte sind somit negativ und die Ruhelage (0,0)
> > > ist somit asymptotisch stabil. Als asymptotisch stabile
> > > Ruhelage ist (0,0) insbesondere attraktiv. [mm]\Box[/mm]
> > >
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Stimmt das so? Bin mir bei der b) nicht sicher ob ich das
> > > so machen darf?
> > >
> > > Vielen Dank!
> > >
> > > Grüße
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke dir!
Gruss
MathePower
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