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| Aufgabe | a) Zeigen Sie, daß die folgenden Ausdrücke mathematisch äquivalent sind:
aa) [mm] ((a+b)(a-b))^2
[/mm]
ab) [mm] (a^2+b^2)^2-4(ab)^2
[/mm]
ac) [mm] (a^2-b^2)^2
[/mm]
b) Seien nun a= [mm] 10^6 [/mm] +1 und [mm] b=10^6-2. [/mm] Multiplizieren Sie damit obige Ausdrücke aus. Jedes Zwischenergebnis, das nicht mit 10 Dezimalstellen dargestellt werden kann, soll auf 10 Stellen gerundet werden.
c) Berechnen Sie jeweils den relativen Fehler der Resultate (2 gültige Ziffern genügen). Was ist der Grund für dieses Verhalten? |
Hallo,
also die a) habe ich so gelöst, dass ich die ersten zwei Terme mit den binomischen Formeln in die Form der dritten umgeformt habe.
Ich hoffe mal, das ist das, was verlangt wird? Oder muss ich da was anderes machen?
Bei der b) sieht es folgendermaßen aus:
Nehme ich also den ersten Term:
a=1000001; b=999998
[mm] ((a+b)(a-b))^2 [/mm]
= [mm] ((1000001+999998)(1000001-999998))^2
[/mm]
= [mm] (10000020000010-999996000004+999998999998-999996000004)^2
[/mm]
jetzt runde ich zum ersten mal auf 10 Dezimalstellen ab
also:
= [mm] (1000002000-9999960000+9999989999-9999960000)^2
[/mm]
= [mm] (-9865711249)^2
[/mm]
= 97332258448645140000
wieder abgerundet:
= 9733225844
Ist das so richtig oder kann ich das einfacher lösen?
Bei der c) weiß ich nicht wie ich den relativen Fehler davon berechnen soll.
Liegt der Grund für dieses Verhalten darin, dass schlichtweg die Dezimalstellen auf 10 beschränkt sind und sich somit der Fehler summiert?
Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sonnenschein123,
> a) Zeigen Sie, daß die folgenden Ausdrücke mathematisch
> äquivalent sind:
> aa) [mm]((a+b)(a-b))^2[/mm]
>
> ab) [mm](a^2+b^2)^2-4(ab)^2[/mm]
>
> ac) [mm](a^2-b^2)^2[/mm]
>
> b) Seien nun a= [mm]10^6[/mm] +1 und [mm]b=10^6-2.[/mm] Multiplizieren Sie
> damit obige Ausdrücke aus. Jedes Zwischenergebnis, das
> nicht mit 10 Dezimalstellen dargestellt werden kann, soll
> auf 10 Stellen gerundet werden.
>
> c) Berechnen Sie jeweils den relativen Fehler der Resultate
> (2 gültige Ziffern genügen). Was ist der Grund für
> dieses Verhalten?
> Hallo,
>
> also die a) habe ich so gelöst, dass ich die ersten zwei
> Terme mit den binomischen Formeln in die Form der dritten
> umgeformt habe.
>
> Ich hoffe mal, das ist das, was verlangt wird? Oder muss
> ich da was anderes machen?
>
> Bei der b) sieht es folgendermaßen aus:
>
> Nehme ich also den ersten Term:
>
> a=1000001; b=999998
>
> [mm]((a+b)(a-b))^2[/mm]
>
> = [mm]((1000001+999998)(1000001-999998))^2[/mm]
> =
> [mm](10000020000010-999996000004+999998999998-999996000004)^2[/mm]
>
> jetzt runde ich zum ersten mal auf 10 Dezimalstellen ab
>
> also:
> = [mm](1000002000-9999960000+9999989999-9999960000)^2[/mm]
> = [mm](-9865711249)^2[/mm]
> = 97332258448645140000
>
> wieder abgerundet:
>
> = 9733225844
>
> Ist das so richtig oder kann ich das einfacher lösen?
>
> Bei der c) weiß ich nicht wie ich den relativen Fehler
> davon berechnen soll.
>
> Liegt der Grund für dieses Verhalten darin, dass
> schlichtweg die Dezimalstellen auf 10 beschränkt sind und
> sich somit der Fehler summiert?
>
> Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia sind
die Dezimalstellen einer Zahl die Nachkommastellen.
Ich denke daher, daß a bzw. b hier anders lauten müssen.
Andernfalls kläre uns mal auf,
wie das mit den Dezimalstellen gemeint ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ja, aber ich habe hier doch garkeine Dezimalzahlen.
Soll ich dann nichts abrunden?
Und die Werte für a und b sind doch vorgegeben.
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 03.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ja, aber ich habe hier doch garkeine Dezimalzahlen.
Es ist sicher folgendes gemeint:
Jedes (Zwischen-)Ergebnis, das mehr als 10 Stellen hat, soll so gerundet werden dass die letzten Stellen (ab der 11. - von vorn gezählt) nur noch Nullen haben.
Da passiert bei 1000001+999999 gar nichts, bei 1000001-999999 auch nicht.
Auch das Produkt (1000001+999999 )(1000001+999999) ist noch nicht 10-stellig.
Lediglich ((1000001+999999 [mm] )(1000001+999999))^2 [/mm] hat mehr als 10 Stellen und muss gerundet werden.
Anders ist es in den weiteren Termen. [mm] 1000001^2 [/mm] und [mm] 999999^2 [/mm] haben mehr als 10 Stellen und müssen bereits als Einzelwerte gerundet werden, bevor man z.B. die Summe diese beiden (gerundeten) Quadrate bildet.
Gruß Abakus
>
> Soll ich dann nichts abrunden?
>
> Und die Werte für a und b sind doch vorgegeben.
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo Abacus,
vielen Dank für Deine Antwort. Also dann wie folgt:
[mm] ((a+b)(a-b))^2
[/mm]
[mm] =((1000001+999998)(1000001-999998))^2
[/mm]
[wenn ich die inneren Klammern auflöse erhalte ich ja
[mm] (1000002000001-999998999998+100000200001-999996000004)^2 [/mm] hier also nichts kürzen ]
[mm] =(5999997)^2
[/mm]
=3599996400 0009
nur das Endprodukt gekürzt
=3599996400
So richtig?
Warum sind das denn keine Zwischenergebnisse, wenn ich die inneren Klammern auflöse?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Di 03.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abacus,
>
> vielen Dank für Deine Antwort. Also dann wie folgt:
>
> [mm]((a+b)(a-b))^2[/mm]
>
> [mm]=((1000001+999998)(1000001-999998))^2[/mm]
>
> [wenn ich die inneren Klammern auflöse erhalte ich ja
>
> [mm](1000002000001-999998999998+100000200001-999996000004)^2[/mm]
Was?
Du hast das Produkt zweier Klammern und sollst das quadrieren. Du erhältst [mm] (1999999*3)^2, [/mm] also [mm] 5999997^2.
[/mm]
Das ist genau [mm] (6000000-3)^2=36 [/mm] 000 000 000 000-2*6 000 000*3+9
=35999964 000009
Da nur die ersten 10 Stellen bleiben sollen, ist der Rundungswert
35999964 [mm] 00\red{0000}
[/mm]
> hier also nichts kürzen ]
>
> [mm]=(5999997)^2[/mm]
> =3599996400 0009
> nur das Endprodukt gekürzt
> =3599996400
>
> So richtig?
>
> Warum sind das denn keine Zwischenergebnisse, wenn ich die
> inneren Klammern auflöse?
>
> Danke.
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okay, bis auf die zusammenfassung [mm] (1999999)^3 [/mm] ist das Ergebnis also mit 3599996400 korrekt, ja?
Bei den anderen zwei Termen habe ich
b) -2790000359
c) 360000000
erhalten. Auch okay so?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 04.11.2009 | | Autor: | abakus |
> okay, bis auf die zusammenfassung [mm](1999999)^3[/mm] ist das
> Ergebnis also mit 3599996400 korrekt, ja?
Es fehlen "nur" 4 Nullen am Ende.
>
> Bei den anderen zwei Termen habe ich
>
> b) -2790000359
>
> c) 360000000
Kann es sein, dass auch hier ein paar Nullen fehlen?
>
> erhalten. Auch okay so?
>
> Vielen Dank.
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> Laut Wikipedia
> sind die Dezimalstellen einer Zahl die Nachkommastellen.
Hallo MathePower,
was dort in Wikipedia zu finden ist, ist natürlich
Unsinn. Die Zahl 538 hat die Dezimalstellen
5, 3 und 8, die nicht hinter, sondern vor dem
Komma (bzw. Dezimalpunkt) stehen.
Man soll nicht alles glauben, was in Wikipedia
steht. Und der fragliche Artikel ist offenbar
dringend revisionsbedürftig !
LG Al
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