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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:52 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Leiten Sie alle Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2 der Gestalt
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[mm] c_2|c_2
[/mm]
[mm] c_3|0, c_3
[/mm]
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0| 0 0 1
her. |
Hallo,
ich hoffe man kann das obige Butcher-Schema erkennen 
Folgendes habe ich mir überlegt:
Man hat ein 3-stufiges R-K-Verfahren, welches die Ordnung 2 besitzen soll.
Angewendet auf unseren Fall hat man gegeben:
[mm] k_1=f(x_m,y_m)
[/mm]
[mm] k_2=f(x_m+c_2h_m,y_m+h_mc_2k_1)
[/mm]
[mm] k_3=f(x_m+c_3h_m,y_m+h_mc_3k_2)
[/mm]
[mm] y_{m+1}=y_m+h_mk_3
[/mm]
Also [mm] F=k_3=f+c_3hf_x+c_3hf_yf+c_3c_2h^2f_xf_y+c_2c_3f_y^2f+O(h^2)
[/mm]
(mit [mm] h_m=h)
[/mm]
Für das Residuum ergibt sich:
[mm] R_m=F-\bruch{y(x_{m+1})-y(x_m)}{h}
[/mm]
Nach Anwendung der Taylorformel ergibt sich:
[mm] R_m=h/2(2c_3-1)f_x+h/2(2c_3-1)ff_y+h^2(c_3c_2)f_xf_y+h^2(c_2c_3)f_y^2f
[/mm]
Also ist [mm] c_3=1/2 [/mm] und [mm] c_2=0
[/mm]
Ich wäre super dankbar, wenn ihr mal drüber schauen könntet!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ich glaube, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Denn in der Aufgabenstellung steht jaALLE Runge Kutta Verfahren. Bei mir gibt's aber nur eines.... Seht ihr den Fehler?
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Hallo Trikolon,
> Ich glaube, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Denn
> in der Aufgabenstellung steht jaALLE Runge Kutta Verfahren.
> Bei mir gibt's aber nur eines.... Seht ihr den Fehler?
Aus dem [mm]R_{m}[/mm] ist doch nur [mm]c_{3}[/mm] bestimmbar.
[mm]c_{2}[/mm] hingegen ist hieraus nicht bestimmbar
(quadratischer Anteil von h) und somit frei wählbar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke für die Rückmeldung. Kannst du mal ueber meine Rechnung drüber schauen, wogenau dder Fehler ist. Denn bei mir würde aus den Gleichungen ja [mm] c_2=0 [/mm] folgen.
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Hallo Trikolon,
> Ok, danke für die Rückmeldung. Kannst du mal ueber meine
> Rechnung drüber schauen, wogenau dder Fehler ist. Denn
> bei mir würde aus den Gleichungen ja [mm]c_2=0[/mm] folgen.
Der quadratische Term in h bei [mm]R_{m}[/mm] stimmt ja auch..
Daraus würde dann folgen , wie Du herausbekommen hast, [mm]c_{2}=0[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Aber dann wäre es doch nicht frei wählbar, oder? ist meine Rechnung sonst soweit ok * auch formal?
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Hallo Trikolon,
> Aber dann wäre es doch nicht frei wählbar, oder? ist
Falls das Residuum stimmt, ja.
> meine Rechnung sonst soweit ok * auch formal?
Wie Du auf das Residuum gekommen bist, ist mir schleierhaft.
Dasselbe gilt für das F.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Naja, für das F habe ixh einfach in die Formel eingesetzt. [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] sind ja 0. Und für das Residuum auch nur in die Formel eingesetzt, die ich oben angegeben habe. Wie wuerdest du es denn machen?
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Hallo Trikolon,
> Naja, für das F habe ixh einfach in die Formel eingesetzt.
> [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] sind ja 0. Und für das Residuum auch nur in
> die Formel eingesetzt, die ich oben angegeben habe. Wie
> wuerdest du es denn machen?
Ich habe für F die exakte Lösung angesetzt,
denn das Residuum ist die Differenz von der
exakten zur angenäherten Lösung.
[mm]F=\bruch{y\left(x_{m+1}\right)-y\left(x_{m}\right)}{h} \approx y'\left(x_{m}\right)+\bruch{h}{2}*y''\left(x_{m}\right)+\bruch{h^2}{6}*y'''\left(x_{m}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Nun ja, bei uns ist das F definiert als [mm] F(x_m,y_m,h_m)=\summe_{j=1}^{s}b_jk_j [/mm] Und das Residuum R ist so definiert, wie ich es im ersten Post geschrieben hatte. Und das hatte ich halt angewendet. Wo könnte der Fehler denn noch stecken?
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