S. v. d. implizierten Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Gleichung
[mm] y^{2} [/mm] + xz + [mm] z^{2} [/mm] - [mm] e^{xz} [/mm] = 1
in einer Umgebung des Punktes (0, -1,1) eine eindeutige stetig differenzierbare Auflösung z = g(x,y) hat. Berechnen Sie [mm] \nabla [/mm] g(x,y) (0,-1). Hat g im Punkt (0,-1) ein lok. Minimum bzw. Maximum? |
Hallo,
ich habe mir ein paar Gedanken zu dieser Aufgaben und hoffe diese stimmen soweit:
f(x,y,z) = [mm] y^{2} [/mm] + xz + [mm] z^{2} [/mm] - [mm] e^{xz} [/mm] - 1 = 0
f(0,-1,1) = [mm] (-1)^{2} [/mm] + 0 + [mm] 1^{2} [/mm] - [mm] e^{0*1} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}(x,y,z) [/mm] = x + 2z - [mm] x*e^{xz}
[/mm]
[mm] \bruch{\partialf}{\partialz}(0,-1,1) [/mm] = 2 [mm] \not= [/mm] 0.
Damit besitzt lt. Satz von der implizierten Funktion die Gleichung eine stetig differenzierbare Auflösung.
[mm] \nabla [/mm] g(x,y) = - [mm] (\bruch{\partial f}{\partial z}(x,y,g(x,y)))^{-1}*\pmat{ \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y,g(x,y)) \\ \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y,g(x,y)) }
[/mm]
= - (x + 2g(x,y) - [mm] x*e^{x*g(x,y)})^{-1}*\vektor{g(x,y) - g(x,y)*e^{x*g(x,y)} \\ 2y}
[/mm]
für P(0,-1)
[mm] \nabla [/mm] g(x,y) = [mm] \bruch{1}{2*g(x,y)}*\vektor{0 \\ -2y}.
[/mm]
Wie kann jetzt argumentieren, dass g in diesem Punkt ein Extrema hat?
Muss ich das über die Hesse-Matrix machen oder gibt es einen einfacheren Weg ?
Danke für die Hilfe.
Gruß Helicase.
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Hallo Helicase,
> Zeigen Sie, dass die Gleichung
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> [mm]y^{2}[/mm] + xz + [mm]z^{2}[/mm] - [mm]e^{xz}[/mm] = 1
>
> in einer Umgebung des Punktes (0, -1,1) eine eindeutige
> stetig differenzierbare Auflösung z = g(x,y) hat.
> Berechnen Sie [mm]\nabla[/mm] g(x,y) (0,-1). Hat g im Punkt (0,-1)
> ein lok. Minimum bzw. Maximum?
> Hallo,
>
> ich habe mir ein paar Gedanken zu dieser Aufgaben und hoffe
> diese stimmen soweit:
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> f(x,y,z) = [mm]y^{2}[/mm] + xz + [mm]z^{2}[/mm] - [mm]e^{xz}[/mm] - 1 = 0
>
> f(0,-1,1) = [mm](-1)^{2}[/mm] + 0 + [mm]1^{2}[/mm] - [mm]e^{0*1}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}(x,y,z)[/mm] = x + 2z - [mm]x*e^{xz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partialf}{\partialz}(0,-1,1)[/mm] = 2 [mm]\not=[/mm] 0.
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> Damit besitzt lt. Satz von der implizierten Funktion die
> Gleichung eine stetig differenzierbare Auflösung.
>
> [mm]\nabla[/mm] g(x,y) = - [mm](\bruch{\partial f}{\partial z}(x,y,g(x,y)))^{-1}*\pmat{ \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y,g(x,y)) \\ \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y,g(x,y)) }[/mm]
>
> = - (x + 2g(x,y) - [mm]x*e^{x*g(x,y)})^{-1}*\vektor{g(x,y) - g(x,y)*e^{x*g(x,y)} \\ 2y}[/mm]
>
> für P(0,-1)
>
> [mm]\nabla[/mm] g(x,y) = [mm]\bruch{1}{2*g(x,y)}*\vektor{0 \\ -2y}.[/mm]
>
> Wie kann jetzt argumentieren, dass g in diesem Punkt ein
> Extrema hat?
> Muss ich das über die Hesse-Matrix machen oder gibt es
> einen einfacheren Weg ?
>
Nein, da [mm]\nabla g(x,y) \not= \vec{0}[/mm] liegt kein lokales Extrema vor.
> Danke für die Hilfe.
>
> Gruß Helicase.
>
Gruss
MathePower
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