S^1 isomorph zu S^2? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist [mm] S^1 \cong S^2? [/mm] |
So, ich würde sagen, daß diese Aussage falsch ist. Über welches Argument würdet ihr das zeigen?
Gruß,
Lf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 07.05.2006 | | Autor: | andreas |
hi
um zu zeigen, dass [mm] $S^1$ [/mm] und [mm] $S^2$ [/mm] nicht homöomorph sind, gibt es viele möglichkeiten, die verschiedenes vorwissen voraussetzen.
eine möglichkeit wäre zu zeigen, dass [mm] $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\pi_1(S^2) [/mm] = 0$, die fundamentalgruppen sich also unterscheiden. da fundamentalgruppen homöomorphie-invarianten sind, können die räume also nicht homöomorph sein.
grüße
andreas
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Hm, ich höre gerade meine erste Topologievorlesung, hatte noch kein Algebra etc., bin im dritten Semester.
Gibt es keine direktere Möglichkeit, also einen Widerspruch zur Definition eines Homöomorphismus zu finden? Wir haben am Anfang der Vorlesung Grundlagen der Punktmengentopologie und Sachen wie Zusammenhang(läßt sich vielleicht damit was reißen?)
Gruß,
Lf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 07.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Mit sterografischer Projektion
[mm] $S^1 \setminus\{*\} \approx \mathbb{R} [/mm] $
[mm] $S^2 \setminus\{*\} \approx \mathbb{R}^2 [/mm] $
aber [mm] $\mathbb{R}\setminus\{*\} [/mm] $ ist nicht homöomorph zu [mm] $\mathbb{R}^2\setminus\{*\}$
[/mm]
aus Zusammenhangsgründen. Hierbei bezeichnen [mm] $\{*\}$ [/mm] jeweils
Räume aus einem Punkt (möglicherweise unterschiedliche Punkte!).
Gruss topotyp
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